已知函数 $f\left( x \right) = \sqrt 3 \sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$ $\left(\omega > 0, - \dfrac{\mathrm \pi} {2} \leqslant \varphi < \dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$ 的图象关于直线 $x = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$ 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 ${\mathrm \pi} $．
【难度】
【出处】
2014年高考重庆卷（理）
【标注】
-
求 $\omega $ 和 $\varphi $ 的值；标注答案$\omega=2$，$\varphi=-\dfrac {\mathrm \pi} 6$．解析根据相邻两个最高点的距离为 ${\mathrm \pi} $ 确定最小正周期．而图象关于直线 $x=\dfrac {\mathrm \pi} 3$ 对称可说明 $\dfrac {\mathrm \pi} 3 $ 是 $f(x)$ 的极大值点或极小值点．因为 $f\left( x \right)$ 的图象上相邻两个最高点的距离为 ${\mathrm \pi} $，所以 $f\left( x \right)$ 的最小正周期 $T = {\mathrm \pi} $，根据正弦型函数求周期公式可知\[\omega = \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{T} = 2,\]又因为 $f\left( x \right)$ 的图象关于直线 $x = \dfrac{{\mathrm \pi} }{3}$ 对称，则根据正弦型函数的对称性可得\[2 \cdot \dfrac{\mathrm \pi} {3} + \varphi = k{\mathrm \pi} + \dfrac{\mathrm \pi} {2},k \in {\mathbb{Z}} ,\]由\[ - \dfrac{\mathrm \pi} {2} \leqslant \varphi < \dfrac{{\mathrm \pi} }{2},\]得 $k = 0$，所以\[\varphi = \dfrac{\mathrm \pi} {2} - \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3} = - \dfrac{\mathrm \pi} {6}.\]
-
若 $f\left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \dfrac{\sqrt 3 }{4}$ $\left(\dfrac{\mathrm \pi} {6} < \alpha < \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}\right)$，求 $\cos\left( \alpha + \dfrac {3{\mathrm \pi} }{2} \right)$ 的值．标注答案$\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt {15} }}{8}$．解析先由 $f(\dfrac {\alpha}2)=\dfrac {\sqrt 3}4$ 算得 $\alpha-\dfrac {\mathrm \pi} 6$ 的正余弦值，然后将 $\alpha$ 写成 $(\alpha-\dfrac {\mathrm \pi} 6)+\dfrac {\mathrm \pi} 6$，通过两角和公式求 $\alpha$ 的正弦值，最后通过诱导公式得到所求．由（1）得\[f\left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \sqrt 3 \sin \left( {2 \cdot \dfrac{\alpha }{2} - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) = \dfrac{\sqrt 3 }{4},\]所以\[\sin \left( {\alpha - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) = \dfrac{1}{4},\]由\[\dfrac{ {\mathrm \pi} }{6} < \alpha < \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3},\]得\[0 < \alpha - \dfrac{\mathrm \pi} {6} < \dfrac{{\mathrm \pi} }{2},\]根据同角三角函数的基本关系可得\[\begin{split}\cos \left( {\alpha - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {\alpha - \dfrac{{\mathrm \pi} }{6}} \right)} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{4},\end{split}\]因此\[\begin{split}\cos \left( {\alpha + \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{2}} \right) &\overset{\left[a\right]}= \sin \alpha \\&= \sin \left[ {\left( {\alpha - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right]\\& \overset{\left[b\right]}= \sin \left( {\alpha - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)\cos \dfrac{\mathrm \pi} {6} + \cos \left( {\alpha - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)\sin \dfrac{{\mathrm \pi} }{6} \\&= \dfrac{1}{4} \times \dfrac{\sqrt 3 }{2} + \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} \times \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt {15} }}{8}.\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
