一盒中装有 $ 9 $ 张各写有一个数字的卡片，其中 $ 4 $ 张卡片上的数字是 $ 1$，$3 $ 张卡片上的数字是 $ 2$，$2 $ 张卡片上的数字是 $ 3 $，从盒中任取 $ 3 $ 张卡片．
【难度】
【出处】
2014年高考重庆卷（理）
【标注】
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求所取 $ 3 $ 张卡片上的数字完全相同的概率；标注答案$\dfrac{5}{84}$．解析本题考察计数问题及古典概型．从 $9$ 张卡片上任取 $3$ 张，所有不同的取法有 $\mathrm{C}_9^3$ 种，颜色相同的有 $\mathrm{C}_4^3 + {\mathrm{C}}_3^3$ 种，则由古典概型概率计算公式可得所求概率为\[p = \dfrac{{{\mathrm{C}}_4^3 + {\mathrm{C}}_3^3}}{{{\mathrm{C}}_9^3}} = \dfrac{5}{84}.\]
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$X$ 表示所取 $ 3 $ 张卡片上的数字的中位数，求 $X$ 的分布列与数学期望．
（注：若三个数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a \leqslant b \leqslant c$，则称 $b$ 为这三个数的中位数）标注答案$X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
X&1&2&3 \\ \hline
P&\frac{17}{42}&\frac{43}{84}&\frac{1}{12} \\ \hline
\end{array}\]\[E\left( X \right) = \dfrac{47}{28}.\]解析分别计算三张卡片的中位数为 $1,2,3$ 的情况的概率即可．$X$ 的所有可能值为 $ 1 , 2 , 3 $．
当 $X=1$ 时，取出的三个数为 $1,1,1$ 或 $1,1,2$ 或 $1,1,3$，所有不同的取法有 $\mathrm C_4^3+\mathrm C_4^2\mathrm C_3^1+\mathrm C_4^2\mathrm C_2^1=34$ 种；
当 $X=2$ 时，取出的三个数为 $1,2,2$ 或 $1,2,3$ 或 $2,2,2$ 或 $2,2,3$，所有不同的取法有 $\mathrm C_4^1\mathrm C_3^2+\mathrm C_4^1\mathrm C_3^1\mathrm C_2^1+\mathrm C_3^3+\mathrm C_3^2\mathrm C_2^1=43$ 种；
当 $X=3$ 时，取出的三个数为 $1,3,3$ 或 $2,3,3$，所有不同的取法有 $\mathrm C_4^1\mathrm C_2^2+\mathrm C_3^1\mathrm C_2^2=7$ 种．所以根据古典概型概率计算公式有\[\begin{split}P\left( {X = 1} \right) &= \dfrac{17}{42},\\ P\left( {X = 2} \right) &= \dfrac{43}{84}, \\ P\left( {X = 3} \right) &= \dfrac{1}{12},\end{split}\]故 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
X&1&2&3 \\ \hline
P&\frac{17}{42}&\frac{43}{84}&\frac{1}{12} \\ \hline
\end{array}\]从而数学期望为\[E\left( X \right) = 1 \times \dfrac{17}{42} + 2 \times \dfrac{43}{84} + 3 \times \dfrac{1}{12} = \dfrac{47}{28}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
