已知函数 $f\left( x \right) = a{\mathrm{e}}^{2x} - b{\mathrm{e}}^{ - 2x} - cx$ $\left(a,b,c \in {\mathbb{R}}\right)$ 的导函数 $f'\left( x \right)$ 为偶函数，且曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)$ 处的切线的斜率为 $4 - c$．
【难度】
【出处】
2014年高考重庆卷（理）
【标注】
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确定 $a$，$b$ 的值；标注答案$ a = 1 $，$ b = 1 $．解析本题考察函数的奇偶性和导数的几何意义．对 $f\left( x \right)$ 求导得\[f'\left( x \right) = 2a{{\mathrm{e}}^{2x}} + 2b{{\mathrm{e}}^{ - 2x}} - c,\]由 $f'\left( x \right)$ 为偶函数，知 $f'\left( { - x} \right) = f'\left( x \right)$ 恒成立，整理得\[2\left( {a - b} \right)\left( {{{\mathrm{e}}^{2x}} -{{\mathrm{e}}^{ - 2x}}} \right) = 0,\]因为上式恒成立，所以 $a = b$．又根据的导数的几何意义得\[f'\left( 0 \right) = 2a + 2b - c=4-c,\]故 $ a = 1 $，$ b = 1 $．
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若 $c = 3$，判断 $f\left( x \right)$ 的单调性；标注答案$f\left(x\right)$ 在 ${\mathbb{R}}$ 上为增函数．解析求导之后可用均值不等式得到导函数的取值范围．当 $c = 3$ 时，$ f\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^{2x}} - {{\mathrm{e}}^{ - 2x}} - 3x$，那么\[f'\left( x \right) = 2{{\mathrm{e}}^{2x}} + 2{{\mathrm{e}}^{ - 2x}} - 3 \overset{\left[a\right]}\geqslant 2\sqrt {2{{\mathrm{e}}^{2x}} \cdot {2{\mathrm{e}}^{ - 2x}}} - 3 = 1 > 0,\]（推导中用到：[a]）故 $f\left(x\right)$ 在 ${\mathbb{R}}$ 上为增函数．
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若 $f\left( x \right)$ 有极值，求 $c$ 的取值范围．标注答案$\left( {4, + \infty } \right)$．解析$f(x)$ 有极值，说明在定义域内 $f(x)$ 的单调性会发生改变，可以从这点出发去进行探索．由（1）知\[f'\left( x \right) = 2{{\mathrm{e}}^{2x}} + 2{{\mathrm{e}}^{ - 2x}} - c,\]根据均值不等式可得\[2{{\mathrm{e}}^{2x}} + 2{{\mathrm{e}}^{ - 2x}} \geqslant 2\sqrt {2{{\mathrm{e}}^{2x}} \cdot {2{\mathrm{e}}^{ - 2x}}} = 4,\]当 $x = 0$ 时等号成立．
下面分三种情况进行讨论．
1）当 $c < 4$ 时，对任意 $x \in {\mathbb{R}}$，$f'\left( x \right) = 2{{\mathrm{e}}^{2x}} + 2{{\mathrm{e}}^{ - 2x}} - c > 0 $，此时 $f\left( x \right)$ 无极值；
2）当 $c = 4$ 时，对任意 $x \ne 0$，$f'\left( x \right) = 2{{\mathrm{e}}^{2x}} + 2{{\mathrm{e}}^{ - 2x}} - 4 > 0$，此时 $f\left( x \right)$ 无极值；
3）当 $c > 4$ 时，令 ${{\mathrm{e}}^{2x}} = t$，则 $f'\left(x\right)=2t + \dfrac{2}{t} - c ,t>0$．注意到方程 $2t + \dfrac{2}{t} - c = 0$ 有两根\[{t_{1,2}} = \dfrac{{c \pm \sqrt {{c^2} - 16} }}{4} > 0,\]即 $f'\left( x \right) = 0$ 有两个根\[{x_1} = \dfrac{1}{2}\ln {t_1}, {x_2} = \dfrac{1}{2}\ln {t_2},\]根据一元二次不等式知识知当 ${x_1} < x < {x_2}$ 时，$f'\left( x \right) < 0$，又当 $x > {x_2}$ 时，$f'\left( x \right) > 0$，从而 $f\left( x \right)$ 在 $x = {x_2}$ 处取得极小值．
综上，若 $f\left( x \right)$ 有极值，则 $c$ 的取值范围为 $\left( {4, + \infty } \right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
