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  函数

$\begin{split} {f\left(x\right)_{\max }} = \dfrac{\sqrt 2 }{2}, f{\left(x\right)_{\min }} = - 1\end{split}$

通过恒等变换将其化简为正弦型函数，然后利用正弦型函数的图象与性质求得最值，此题是常规题型．由已知得\[\begin{split}f\left(x\right) &= \sin \left(x + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{4}\right) + \sqrt 2 \cos \left(x + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{2}\right) \\&\overset{\left[a\right]}= \dfrac{\sqrt 2 }{2}\sin x + \dfrac{\sqrt 2 }{2}\cos x+ \sqrt 2 \cos \left(x + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{2}\right)\\&\overset{\left[b\right]}= \dfrac{\sqrt 2 }{2}\sin x + \dfrac{\sqrt 2 }{2}\cos x - \sqrt 2 \sin x \\&= \dfrac{\sqrt 2 }{2}\cos x - \dfrac{\sqrt 2 }{2}\sin x \\&\overset{\left[c\right]}= \cos \left(x + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{4}\right).\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]，[c]）．
因为 $ 0 \leqslant x \leqslant {\mathrm{\mathrm \pi} } $，所以 $ \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{4} \leqslant x + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{4} \leqslant \dfrac{{5{\mathrm{\mathrm \pi} } }}{4} $，所以由余弦函数的性质得\[ - 1 \leqslant f\left(x\right) \leqslant \dfrac{\sqrt 2 }{2}, \]即\[\begin{split} {f\left(x\right)_{\max }} = \dfrac{\sqrt 2 }{2},
f{\left(x\right)_{\min }} = - 1.\end{split}\]

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  三角

$a=-1;\theta =-\dfrac{\mathrm \pi} {6}$

本题考查三角函数的计算问题，根据两个重要条件，代入函数中，列方程求解．由 $\begin{cases} f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)=0,\\f\left({\mathrm \pi} \right)=1,\end{cases}$ 及二倍角公式得\[\begin{cases}\cos \theta\left(1-2a\sin \theta\right)=0,\\2a\sin ^2\theta-\sin \theta-a=1.\end{cases} \]由 $ \theta \in \left( - \dfrac{{{\mathrm{\mathrm \pi} } }}{2},\dfrac{{{\mathrm{\mathrm \pi} } }}{2}\right)$ 知 $\cos \theta \ne 0 $，解得\[\begin{cases}a=-1,\\\theta =-\dfrac{\mathrm \pi} {6}.\end{cases}\]