已知首项都是 $ 1 $ 的两个数列 $\left\{{a_n}\right\}$，$\left\{{b_n}\right\}\left(b_n \ne 0 , n \in {{\mathbb{ N}}^*}\right)$ 满足 ${a_n}{b_{n+1}} - {a_{n+1}}{b_n}+2{b_{n+1}}{b_n}=0$．
【难度】
【出处】
2014年高考江西卷（理）
【标注】
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令 ${c_n} = \dfrac{a_n}{b_n}$，求数列 $ \left\{{c_n}\right\}$ 的通项公式；标注答案${c_n}{ = }2n - 1$解析本题考查等差数列的判定与证明，以及等差数列的性质．因为 $ {a_n}{b_{n + 1}} - {a_{n + 1}}{b_n} + 2{b_{n + 1}}{b_n} = 0 $，$ {b_n} \ne 0 $，所以\[ \dfrac{a_n}{b_n} - \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{b_{n + 1}}}} + 2 = 0 ,\]故\[ {c_{n + 1}} - {c_n} = 2 , \]因此 $ \left\{ {\left. {c_n} \right\}} \right.$ 是首项为 $ 1 $，公差为 $ 2 $ 的等差数列，所以 ${c_n}{ = }2n - 1$．
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若 $ b_n =3^{n-1}$，求数列 $ \left\{{a_n}\right\}$ 的前 $ n $ 项和 $S_n $．标注答案$ {S_n} = \left(n - 1\right) \times {3^{n }} + 1$解析本题是典型的错位相减法求数列和的问题．由（1）知 $ \dfrac{a_n}{b_n} = {c_n} = 2n - 1 $，所以\[ {a_n} = \left(2n - 1\right) \times {3^{n - 1}}, \]因此\[\begin{split} &{S_n} = 1 \times {3^0} + 3 \times {3^1} + \cdots + \left(2n - 1\right) \times {3^{n - 1}}, \\ &3{S_n} = 1 \times {3^1} + 3 \times {3^2} + \cdots + \left(2n - 3\right) \times {3^{n - 1}} + \left(2n - 1\right) \times {3^{n }} ,\end{split}\]两式相减得\[\begin{split}- 2{S_n}& = 1+2\cdot\left( {3^1} + {3^2} + \cdots + {3^{n-1}}\right) - \left(2n - 1\right) \times {3^{n}}\\&\overset{\left[a\right]}=-2-\left(2n-2\right)3^{n } ,\end{split}\]（推导中用到[a]）．
整理解得 $ {S_n} = \left(n - 1\right) \times {3^{n }} + 1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
