题目 已知函数 $ f\left(x\right)=\left(x^2+bx +b\right)\cdot \sqrt{1-2x}$ $ \left(b \in {\mathbb{R}}\right)$． 问题1 当 $b=4 $ 时，求 $f\left(x\right) $ 的极值； 答案1 当 $ x = - 2$ 时，$f\left(x\right)$ 取极小值为 $ 0 $；当 $ x = 0$ 时，$f\left(x\right)$ 取极大值为 $ 4 $ 解析1 本题考查利用导数判断函数极值的问题．按照不含参函数求极值的步骤解答即可．当 $b=4 $ 时，$f\left(x\right) = {\left(x + 2\right)^2}\sqrt {1 - 2x} $ $\left(x \leqslant \dfrac{1}{2}\right)$，则\[ \begin{split}f'\left(x\right) &\overset{\left[a\right]}= 2\left(x + 2\right)\sqrt {1 - 2x} + {\left(x + 2\right)^2} \cdot \dfrac{1}{2}{\left(1 - 2x\right)^{ - \frac{1}{2}}} \cdot \left( - 2\right) \\&= \dfrac{ - 5x\left(x + 2\right)}{{\sqrt {1 - 2x} }}.\end{split} \]（推导中用到[a]）．<br/>令 $f'\left(x\right)=0 $，得 $x = - 2 $ 或 $x=0 $．<br/>当 $ x < - 2 $ 时，$ f'\left(x\right) < 0 $，<br/>当 $ - 2 < x < 0 $ 时，$ f'\left(x\right) > 0 $，<br/>当 $ 0 < x < \dfrac{1}{2} $ 时，$ f'\left(x\right) < 0 $．<br/>所以当 $ x = - 2$ 时，$f\left(x\right)$ 取极小值为 $ 0 $；当 $ x = 0$ 时，$f\left(x\right)$ 取极大值为 $ 4 $． 备注1 问题2 若 $ f\left(x\right)$ 在区间 $\left( {0,\dfrac{1}{3}} \right)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围． 答案2 $ \left(-\infty,\dfrac {1}{9}\right]$ 解析2 本小问是已知函数单调性求参数取值范围的问题，已知函数在区间上单调递增，则其导函数恒大于等于零，故将问题转化为恒成立问题，利用恒成立问题求参数取值范围的手段，进行解答．由题意知 $ f'\left(x\right)= \dfrac{ -x\left[ 5x+\left(3b - 2\right)\right]}{{\sqrt {1 - 2x} }} \geqslant 0 $ 对 $x \in \left(0,\dfrac{1}{3}\right)$ 恒成立，<br/>所以\[ - 5{x^2} - 3bx + 2x \geqslant 0,\]即\[ b \leqslant {{\dfrac{2 - 5x}{3}}} \]对 $x \in \left(0,\dfrac{1}{3}\right)$ 恒成立．因为当 $x \in \left(0,\dfrac{1}{3}\right)$ 时，$ \dfrac{2 - 5x}{3} > \dfrac{1}{9}$，所以 $b \leqslant \dfrac{1}{9}$．<br/>所以 $b$ 的取值范围为 $ \left(-\infty,\dfrac {1}{9}\right]$． 备注2