已知函数 $f\left( x \right) = \cos x \cdot \sin \left( {x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{3}} \right) - \sqrt 3 {\cos ^2}x + \dfrac{\sqrt 3 }{4}$，$x \in {\mathbb{R}}$．
【难度】
【出处】
2014年高考天津卷（理）
【标注】
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求 $f\left( x \right)$ 的最小正周期；标注答案$ {\mathrm{\mathrm \pi} } $解析本小问是三角函数中的常规题型．先是利用三角恒等变换将其化简为正弦型函数，然后利用正弦型函数图象与性质求出最小正周期．由已知，有\[\begin{split}f\left( x \right) & \overset{\left[a\right]}= \cos x \cdot \left( {\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt 3 }{2}\cos x} \right) - \sqrt 3 {\cos ^2}x + \dfrac{\sqrt 3 }{4} \\&= \dfrac{1}{2}\sin x \cdot \cos x - \dfrac{\sqrt 3 }{2}{\cos ^2}x + \dfrac{\sqrt 3 }{4} \\&\overset{\left[b\right]}= \dfrac{1}{4}\sin 2x - \dfrac{\sqrt 3 }{4}\left( {1 + \cos 2x} \right) + \dfrac{\sqrt 3 }{4} \\& = \dfrac{1}{4}\sin 2x - \dfrac{\sqrt 3 }{4}\cos 2x \\& \overset{\left[c\right]}= \dfrac{1}{2}\sin \left( {2x - \dfrac{ {\mathrm \pi} }{3}} \right).\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]，[c]）
所以，$f\left( x \right)$ 的最小正周期 $T = \dfrac{{2{\mathrm{\mathrm \pi} } }}{2} = {\mathrm{\mathrm \pi} } $． -
求 $f\left( x \right)$ 在闭区间 $\left[ { - \dfrac{{\mathrm \pi} }{4},\dfrac{{\mathrm \pi} }{4}} \right]$ 上的最大值和最小值．标注答案最大值为 $\dfrac{1}{4}$，最小值为 $ - \dfrac{1}{2}$解析本题考查正弦型函数的性质，需要利用第（1）问的化简结果．当 $x\in\left[ { - \dfrac{{\mathrm \pi} }{4},\dfrac{{\mathrm \pi} }{4}} \right]$ 时，$2x - \dfrac{ {\mathrm \pi} }{3}\in\left[ { - \dfrac{{5{\mathrm \pi} } }{6},\dfrac{{\mathrm \pi} }{6}} \right]$．
由正弦函数的性质知，当 $2x - \dfrac{ {\mathrm \pi} }{3}=\dfrac{{\mathrm \pi} }{6}$，即 $x=\dfrac{{\mathrm \pi} }{4}$ 时，$f\left( x \right)$ 取得最大值\[\dfrac{1}{2}\sin \dfrac{ {\mathrm \pi} }{6}=\dfrac{1}{4};\]当 $2x - \dfrac{ {\mathrm \pi} }{3}=-\dfrac{{\mathrm \pi} }{2}$，即 $x=-\dfrac{{\mathrm \pi} }{12}$ 时，$f\left( x \right)$ 取得最小值\[\dfrac{1}{2}\sin \dfrac{ {\mathrm \pi} }{6}=- \dfrac{1}{2}.\]所以，函数 $f\left( x \right)$ 在闭区间 $\left[ { - \dfrac{{\mathrm \pi} }{4},\dfrac{{\mathrm \pi} }{4}} \right]$ 上的最大值为 $\dfrac{1}{4}$，最小值为 $ - \dfrac{1}{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
