题目 某大学志愿者协会有 $6$ 名男同学，$4$ 名女同学．在这 $ 10 $ 名同学中，$ 3 $ 名同学来自数学学院，其余 $ 7 $ 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这 $ 10 $ 名同学中随机选取 $ 3 $ 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． 问题1 求选出的 $3$ 名同学是来自互不相同学院的概率； 答案1 $\dfrac{49}{60}$ 解析1 本题考查古典概型问题，利用组合数进行计算．设“选出的 $3$ 名同学来自互不相同的学院”为事件 $A$，则\[P\left( A \right)\overset{\left[a\right]} = \dfrac{{{\mathrm{C}}_3^1 \cdot {\mathrm{C}}_7^2 + {\mathrm{C}}_3^0 \cdot{\mathrm{ C}}_7^3}}{{{\mathrm{C}}_{10}^3}} = \dfrac{49}{60},\]（推导中用到[a]）．<br/>所以，选出的 $ 3 $ 名同学来自互不相同学院的概率为 $\dfrac{49}{60}$． 备注1 问题2 设 $X$ 为选出的 $3$ 名同学中女同学的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望． 答案2 分布列略；数学期望为 $ \dfrac{6}{5}$ 解析2 本题随机变量 $X$ 服从超几何分布．随机变量 $X$ 的所有可能值为 $0,1,2,3$，因为\[P\left( {X = k} \right) \overset{\left[a\right]}= \dfrac{{{\mathrm{C}}_4^k \cdot{\mathrm{ C}}_6^{3 - k}}}{{{\mathrm{C}}_{10}^3}}\left( {k = 0,1,2,3} \right),\]（推导中用到[a]）．<br/>所以，随机变量 $X$ 的分布列是\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline<br/>X&0&1&2&3 \\ \hline<br/>P&\frac{1}{6}&\frac{1}{2}&\frac{3}{10}&\frac{1}{30} \\ \hline<br/>\end{array}\]故随机变量 $X$ 的数学期望\[E\left( X \right) = 0 \times \dfrac{1}{6} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{3}{10} + 3 \times \dfrac{1}{30} = \dfrac{6}{5}.\] 备注2