题目 如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp 底面 ABCD$，$AD \perp AB$，$AB\parallel DC$，$AD = DC = AP = 2$，$AB = 1$，点 $E$ 为棱 $PC$ 的中点．<br><img src="/static/images/e0d0e3ffb6d48d5f4b5fb19b36b23044.png" class="img-responsive" /> 问题1 证明：$BE \perp DC$； 答案1 略 解析1 本题考查异面直线的垂直问题，可结合线面垂直加以证明．如图<img src="/static/images/7e293fef36a0328631a47d5e2f942b06.png" class="img-responsive" />取 $PD$ 中点 $M$，连接 $EM$，$AM$．<br/>由于 $E$，$M$ 分别为 $PC$，$PD$ 的中点，故 $EM\parallel DC$ 且 $EM = \dfrac{1}{2}DC$．<br/>又由已知，可得 $EM\parallel AB$ 且 $ EM = AB$，故四边形 $ABEM$ 为平行四边形，所以 $BE\parallel AM$．<br/>因为 $PA \perp 底面 ABCD$，故 $PA \perp CD$，而 $CD \perp DA$，从而 $CD \perp 平面 PAD$．<br/>因为 $AM \subset 平面 PAD$，于是 $CD \perp AM$．又 $BE\parallel AM$，所以 $BE \perp CD$． 备注1 问题2 求直线 $BE$ 与平面 $PBD$ 所成角的正弦值； 答案2 $\dfrac{\sqrt 3 }{3}$ 解析2 本题考查线面角的计算．需要用到第（1）结论 $CD\perp$ 平面 $PBD$，找到 $BE$ 与平面的线面角．如图，连接 $BM$．<img src="/static/images/fbff8021fefd9560fd5008ef55d0b208.png" class="img-responsive" />由（1）有 $CD \perp 平面 PAD$，而 $EM\parallel CD$，故 $ME \perp 平面 PAD$．所以 $PD \perp ME$．<br/>又因为 $AD = AP$，$M$ 为 $PD$ 的中点，故 $PD \perp AM$．又 $AM \cap ME=M$，所以 $PD \perp平面 BEM$，故平面 $BEM \perp 平面 PBD$．<br/>所以直线 $BE$ 在平面 $PBD$ 内的射影为直线 $BM$，故 $\angle EBM$ 为直线 $BE$ 与平面 $PBD$ 所成的角．<br/>而由（1）知 $BE \perp EM$，可得 $\angle EBM$ 为锐角，<br/>依题意，有 $PD = 2\sqrt 2 $，而 $M$ 为 $PD$ 中点，<br/>可得 $AM = \sqrt 2$，进而 $BE = \sqrt 2$，故在直角三角形 $BEM$ 中，\[\tan \angle EBM = \dfrac{EM}{BE} = \dfrac{1}{\sqrt 2 },\]所以，由同角三角函数的基本关系式得\[\sin \angle EBM = \dfrac{\sqrt 3 }{3},\]所以，直线 $BE$ 与平面 $PBD$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt 3 }{3}$． 备注2 问题3 若 $F$ 为棱 $PC$ 上一点，满足 $BF \perp AC$，求二面角 $F - AB - P$ 的余弦值． 答案3 $\dfrac{{3\sqrt {10} }}{10}$ 解析3 本题考查二面角的计算．根据条件可证 $AB\perp$ 平面 $PAD$，所以由二面角的定义可找到二面角的平面角．如图，在 $\triangle PAC$ 中，过点 $F$ 作 $FH\parallel PA$ 交 $AC$ 于点 $H$．<img src="/static/images/f7cda525acf12edc747b1a7b4c2b485f.png" class="img-responsive" />因为 $PA \perp $ 底面 $ABCD$，故 $FH \perp 底面 ABCD$，从而 $FH \perp AC$．<br/>又 $BF \perp AC$，得 $AC \perp 平面 FHB$，因此 $AC \perp BH$．<br/>在底面 $ABCD$ 内，可得 $CH = 3HA$，从而 $CF = 3FP$．<br/>在平面 $PDC$ 内，作 $FG\parallel DC$ 交 $PD$ 于点 $G$，于是 $DG = 3GP$．<br/>由于 $DC\parallel AB$，故 $GF\parallel AB$，所以 $A,B,F,G$ 四点共面．<br/>由 $AB \perp PA$，$AB \perp AD$，得 $AB \perp $ 平面 $PAD$，故 $AB \perp AG$．<br/>所以 $\angle PAG$ 为二面角 $F - AB - P$ 的平面角．<br/>在 $\triangle PAG$ 中，可得\[PA = 2, PG = \dfrac{1}{4}PD = \dfrac{\sqrt 2 }{2}, \angle APG = {45^ \circ },\]由余弦定理可得\[AG = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2},\cos \angle PAG = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{10},\]所以，二面角 $F - AB - P$ 的余弦值为 $\dfrac{{3\sqrt {10} }}{10}$． 备注3