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  数列

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  等比数列及其性质

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  等比数列的定义与通项
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  数列

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  求数列的通项公式

证明略；通项公式为 ${a_n} = \dfrac{{{3^n} - 1}}{2}$

按照等比数列的概念，然后结合题中的条件，仅需证明 $\dfrac{a_{n+1}+\frac{1}{2}}{a_n+\frac{1}{2}}$ 的比值为常数即可，结合等比数列的通项公式，即可写出数列 $\left\{a_n+\dfrac{1}{2}\right\}$ 的通项公式，进而解得此题．由 ${a_{n + 1}} = 3{a_n} + 1$，得\[{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{2} = 3\left({a_n} + \dfrac{1}{2}\right).\]又\[{a_1} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2},\]所以 $\left\{ {{a_n} + \dfrac{1}{2}} \right\}$ 是首项为 $\dfrac{3}{2}$，公比为 $ 3 $ 的等比数列．故\[{a_n} + \dfrac{1}{2}\overset{\left[a\right]} = \dfrac{3^n}{2},\]（推导中用到[a]）．
因此 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为\[{a_n} = \dfrac{{{3^n} - 1}}{2}.\]

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  等比数列的前n项和
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  不等式

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  放缩
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  数列

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  数列求和

略

注意到数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}\right\}$ 不可直接求和，需要进行放缩处理成可求和数列进行证明．由（1）知\[\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{{{3^n} - 1}},\]a）当 $n = 1$ 时，$\dfrac{1}{a_1} =1<\dfrac{3}{2}$；
b）当 $n \geqslant 2$ 时，${3^n} - 1>{3^n} - 3^{n-1}$，所以\[\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{3^n - 1}\overset{\left[a\right]}<\dfrac{2}{{3^n} - 3^{n-1}}=\dfrac1{ 3^{n-1}}.\]于是\[ \begin{split}\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} & <1 + \dfrac{1}{3} + \cdots+ \dfrac{1}{{{3^{n - 1}}}} \\&\overset{\left[a\right]} = \dfrac{3}{2}\left(1 - \dfrac{1}{3^n}\right) \\&<\dfrac{3}{2}.\end{split} \]（推导中用到[a]）．
所以\[\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} +\cdots+ \dfrac{1}{a_n}<\dfrac{3}{2}.\]综上所述，当 $n\in\mathbb N^*$ 时，恒有 $\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} < \dfrac{3}{2}$．