题目 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 $y$（单位：千元）的数据如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline<br/>年份&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013 \\ \hline<br/>年份代号 t &1&2&3&4&5&6&7 \\ \hline<br/>人均纯收入 y&2.9&3.3&3.6&4.4&4.8&5.2&5.9 \\ \hline<br/>\end{array}\]附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\displaystyle \widehat b = \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{t_i} - \overline t } \right)\left( {{y_i} - \overline y } \right)} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{t_i} - \overline t } \right)}^2}} }}$，$\widehat a = \overline y - \widehat b\overline t $． 问题1 求 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程； 答案1 $\widehat y = 0.5t + 2.3$ 解析1 本题考查线性回归方程的相关知识．由所给数据计算得\[\overline t = \dfrac{1}{7}\left(1+2+3+4+5+6+7\right)=4 ,\]\[\begin{split} \overline y &= \dfrac{1}{7}\left(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9\right)\\&=4.3,\end{split} \]所以\[\sum\limits_{i = 1}^7 {{{\left({t_i} - \overline t \right)}^2}} =9+4+1+0+1+4+9=28,\]\[ \sum\limits_{i = 1}^7 {\left({t_i} - \overline t \right)\left({y_i} - \overline y \right)}=14. \]所以由最小二乘法得\[\widehat b = \dfrac{{\sum\limits_{i= 1}^7 {\left({t_i} - \overline t \right)\left({y_i} - \overline y \right)} }}{{\sum\limits_{i = 1}^7 {{{\left({t_i} - \overline t \right)}^2}} }} = \dfrac{14}{28} = 0.5,\]\[ \widehat a = \overline y - \widehat b \overline t = 4.3 - 0.5 \times 4 = 2.3.\]故所求回归方程为 $\widehat y = 0.5t + 2.3$． 备注1 问题2 利用（1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入． 答案2 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 $0.5$ 千元；<br/>该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入为 $6.8$ 千元． 解析2 本题考查线性回归方程的知识应用．由（1）知 $ b=0.5>0 $，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 $0.5$ 千元．<br/>将 2015 年的年份代号 $t=9$ 代入（1）中的回归方程，得\[\widehat y = 0.5 \times 9 + 2.3 = 6.8,\]故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 $6.8$ 千元． 备注2