题目 设函数 $f\left( x \right)=\left| {x + \dfrac{1}{a}} \right| + \left| {x - a} \right|\left(a > 0\right)$． 问题1 证明：$f\left( x \right) \geqslant 2$； 答案1 略 解析1 本题考查绝对值不等式的应用．由 $a > 0$，得\[\begin{split}f\left(x\right) &= \left| {x + \dfrac{1}{a}} \right| + \left| {x - a} \right| \\&\overset{\left[a\right]}\geqslant \left| {x + \dfrac{1}{a} - \left(x - a\right)} \right| \\&= \dfrac{1}{a} + a \\&\overset{\left[b\right]}\geqslant 2.\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]）．所以\[f\left(x\right)\geqslant 2.\] 备注1 问题2 若 $f\left( 3 \right) < 5$，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left(\dfrac{1 + \sqrt 5 }{2},\dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\right)$ 解析2 本题考查绝对值不等式的求解．\[f\left(3\right) = \left| {3 + \dfrac{1}{a}} \right| + \left| {3 - a} \right|.\]可用分类讨论来解绝对值不等式．<br/>当 $a>3$ 时，$f\left(3\right)=a + \dfrac{1}{a}$，由 $f\left(3\right)<5$ 得\[3<a<\dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2};\]当 $0<a\leqslant 3$ 时，$f\left(3\right)=6 - a + \dfrac{1}{a}$，由 $f\left(3\right)<5$ 得\[\dfrac{1 + \sqrt 5 }{2}<a\leqslant 3.\]综上，$ a $ 的取值范围是 $\left(\dfrac{1 + \sqrt 5 }{2},\dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\right)$． 备注2