题目 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$． 问题1 若 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，证明：$\sin A + \sin C = 2\sin \left( {A + C} \right)$； 答案1 略． 解析1 先得到 $a,b,c$ 间的数量关系，然后用正弦定理边化角，就接近预证等式的形式了．因为 $a , b , c$ 成等差数列，所以 $ a + c = 2b$．<br/>由正弦定理得\[\sin A + \sin C = 2\sin B,\]因为 $\sin B = \sin \left[{\mathrm \pi} - \left(A + C\right)\right] = \sin \left(A + C\right)$，所以\[\sin A + \sin C = 2\sin \left( {A + C} \right).\] 备注1 问题2 若 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，求 $\cos B$ 的最小值． 答案2 $\dfrac{1}{2}$． 解析2 对 $\angle B$ 应用余弦定理，然后消元，得到关于 $a,c$ 的表达式，最后通过均值定理求得 $\cos B$ 的最小值．因为 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，所以 $ {b^2} = ac$．<br/>由余弦定理得\[\begin{split}\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2ac} = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - ac}}{2ac} = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2ac} - \dfrac{1}{2},\end{split}\]又因为 ${a^2} + {c^2} \geqslant 2ac$（当且仅当 $a = c$ 时等号成立），<br/>所以 $ \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2ac} \geqslant 1$（当且仅当 $a = c$ 时等号成立），<br/>故 $ \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2ac} - \dfrac{1}{2} \geqslant 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$（当且仅当 $a = c$ 时等号成立），<br/>即 $\cos B \geqslant \dfrac{1}{2}$，所以 $\cos B$ 的最小值为 $\dfrac{1}{2}$． 备注2