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  计数与概率

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  离散型随机变量

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  离散型随机变量的分布列
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  计数与概率

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  随机事件的概率

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  条件概率与独立
• 题型

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  计数与概率

$X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X&4000&2000&800 \\ \hline P&0.3&0.5&0.2 \\ \hline\end{array}\]

由题中表格可知，销售额（单位：元）可能为 $300\cdot 6=1800$、$300\cdot 10=500\cdot 6=3000$、$500\cdot 10=5000$ 四种情况．设 $ A $ 表示事件“作物产量为 $ 300 {\mathrm{kg}} $”，$ B $ 表示事件“作物市场价格为 $ 6 元{/}{\mathrm{kg}} $”，
由题设知\[P\left(A\right) = 0.5,P\left(B\right) = 0.4 , \]因为 $ 利润=产量 \times 市场价格-成本 $，
所以 $X$ 所有可能的取值为\[500 \times 10 - 1000 = 4000, 500 \times 6 - 1000 = 2000, \\ 300 \times 10 - 1000 = 2000, 300 \times 6 - 1000 = 800,\]则根据独立事件可得\[\begin{split}P\left(X = 4000\right) &= P\left(\overline A \right)P\left(\overline B \right) = \left(1 - 0.5\right)\left(1 - 0.4\right) = 0.3,\\P\left(X = 2000\right) &= P\left(\overline A \right)P\left(B\right) + P\left(A\right)P\left(\overline B \right) \\&= \left(1 - 0.5\right) \times 0.4 + 0.5 \times \left(1 - 0.4\right) = 0.5,\\
P\left(X = 800\right) &= P\left(A\right)P\left(B\right) = 0.5 \times 0.4 = 0.2,\end{split}\]所以 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X&4000&2000&800 \\ \hline P&0.3&0.5&0.2 \\ \hline\end{array}\]

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  概率计算题

$ 0.896$．

由分布列可知，每一季利润不少于 $2000$ 的概率为 $0.8$，题意即求三季中有两季或三季作物的利润不少于 $2000$ 元的概率，这是一个典型的二项分布问题．设 ${C_i}$ 表示事件“第 $i $ 季利润不少于 $ 2000 $ 元”$\left(i = 1,2,3\right)$，
由题意知 ${C_1}$，${C_2}$，${C_3}$ 相互独立，由（1）知\[P\left({C_i}\right) = P\left(X = 4000\right) + P\left(X = 2000\right) = 0.3 + 0.5 = 0.8\left(i = 1,2,3\right),\]$ 3 $ 季利润均不少于 $ 2000 $ 元的概率为\[P\left({C_1}{C_2}{C_3}\right) = P\left({C_1}\right)P\left({C_2}\right)P\left({C_3}\right) = {0.8^3} = 0.512,\]$ 3 $ 季中有 $ 2 $ 季利润不少于 $ 2000 $ 元的概率为\[P\left(\overline {C_1} {C_2}{C_3}\right) + P\left({C_1}\overline {C_2} {C_3}\right) + P\left({C_1}{C_2}\overline {C_3} \right) = 3 \times {0.8^2} \times 0.2 = 0.384,\]所以，这 $ 3 $ 季中至少有 $ 2 $ 季的利润不少于 $ 2000 $ 元的概率为 $0.512 + 0.384 = 0.896$．