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$\dfrac12$．

根据同角三角函数关系式，得出 $\cos\alpha$，代入 $f(\alpha)$ 即可．因为 $0 < \alpha < \dfrac{\mathrm \pi} {2}$，且 $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，所以\[\cos \alpha\overset{\left[a\right]}=\sqrt{1-\sin^2\alpha} = \dfrac{\sqrt 2 }{2},\]（推导中用到[a]）
所以\[\begin{split}f\left(\alpha \right) = \dfrac{\sqrt 2 }{2}\left(\dfrac{\sqrt 2 }{2} + \dfrac{\sqrt 2 }{2}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.\end{split}\]

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最小正周期为 ${\mathrm \pi} $；单调递增区间为 $\left[k{\mathrm \pi} - \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{8},k{\mathrm \pi} +\dfrac{\mathrm \pi} {8}\right],k \in {\mathbb{Z}}$．

将函数 $f(x)$ 化为正弦型函数即可．因为\[\begin{split}f\left(x\right) & = \sin x\cos x + {\cos ^2}x - \dfrac{1}{2} \\& \overset{\left[a\right]}= \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1 + \cos 2x}{2} - \dfrac{1}{2} \\& = \dfrac{1}{2}\left(\sin 2x + \cos 2x\right) \\& \overset{\left[b\right]}= \dfrac{\sqrt 2 }{2}\sin \left(2x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}\right),\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]）
所以周期$T = \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{2} = {\mathrm \pi} $．
由 $2k {\mathrm \pi} - \dfrac{{\mathrm \pi} }{2} \leqslant 2x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4} \leqslant 2k{\mathrm \pi} + \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}$，得\[k{\mathrm \pi} - \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{8} \leqslant x \leqslant k{\mathrm \pi} + \dfrac{{\mathrm \pi} }{8},k \in {\mathbb{Z}},\]所以 $f\left(x\right)$ 的单调增区间为 $\left[k{\mathrm \pi} - \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{8},k{\mathrm \pi} +\dfrac{\mathrm \pi} {8}\right],k \in {\mathbb{Z}}$．