在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB = BD = CD = 1$，$AB \perp BD$，$CD \perp BD$．将 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 折起，使得平面 $ABD \perp 平面 BCD$，如图．
【难度】
【出处】
2014年高考福建卷（理）
【标注】
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求证：$AB \perp CD$；标注答案略．解析通过线面垂直的性质证出线线垂直．因为平面 $ABD \perp 平面 BCD$，平面 $ABD \cap 平面 BCD = BD$，$ AB \subset 平面 ABD $，$AB \perp BD$，所以 $AB \perp 平面 BCD$．
而 $CD \subset 平面 BCD$，所以 $AB \perp CD$． -
若 $M$ 为 $AD$ 中点，求直线 $AD$ 与平面 $MBC$ 所成角的正弦值．标注答案$\dfrac{\sqrt 6 }{3}$．解析建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值就是所求的线面角的正弦值．过点 $ B $ 在平面 $ BCD $ 内作 $ BE\perp BD $，如图．
由（1）知，$ AB\perp 平面 BCD $，$ BE \subset 平面 BCD $，$ BD\subset 平面 BCD $，所以 $ AB\perp BE$，$AB\perp BD $．
以点 $ B $ 为坐标原点，$\overrightarrow {BE} $，$\overrightarrow {BD} $，$\overrightarrow {BA} $ 的方向为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系．由题意，得\[B\left(0,0,0\right),C\left(1,1,0\right),D\left(0,1,0\right),A\left(0,0,1\right),M\left(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right).\]所以\[\begin{split}&\overrightarrow {BC} = \left(1,1,0\right), \\&\overrightarrow {BM} = \left(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right), \\&\overrightarrow {AD} = \left(0,1, - 1\right).\end{split}\]设平面 $MBC$ 的法向量为 $\overrightarrow n = \left(x,y,z\right)$，则\[\begin{cases}{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {BC} = 0} ,\\
{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {BM} = 0},\\
\end{cases}\]即\[\begin{cases}{x + y = 0} ,\\
{\dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{2}z = 0},\\
\end{cases}\]取 $z = 1$，得平面 $MBC$ 的一个法向量为 $\overrightarrow n = \left(1, - 1,1\right)$．所以\[ \left|\cos \left\langle \overrightarrow n ,\overrightarrow {AD} \right\rangle \right| = \dfrac{{\left|\overrightarrow { n} \cdot \overrightarrow {AD} \right|}}{{ \left|\overrightarrow {n} \right| \cdot \left|\overrightarrow {AD} \right|}} = \dfrac{\sqrt 6 }{3}.\]所以直线 $AD$ 与平面 $MBC$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt 6 }{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
