为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 $ 1000 $ 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 $ 4 $ 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 $ 2 $ 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
【难度】
【出处】
2014年高考福建卷（理）
【标注】
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若袋中所装的 $ 4 $ 个球中有 $ 1 $ 个所标的面值为 $ 50 $ 元，其余 $ 3 $ 个均为 $ 10 $ 元，求
① 顾客所获的奖励额为 $ 60 $ 元的概率；
② 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．标注答案① $\dfrac12$；② 分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X&20&60\\ \hline P&{\dfrac 1 2 }&{\dfrac 1 2 } \\ \hline \end{array}\]期望为 $ E\left(X\right) = 40$．解析第一小问，用古典概型计算概率即可；第二小问，计算出各种情况的概率，求出分布列与数学期望即可．设顾客所获的奖励额为 $ X $．
① 设顾客获得 $ 60 $ 元奖励为事件 $ A $，则\[P\left(A\right) = P\left(X = 60\right) \overset{\left[a\right]}= \dfrac{{{\mathrm{C}}_3^1}}{{{\mathrm{C}}_4^2}} \overset{\left[b\right]}= \dfrac{1}{2}.\]（推到中用到[a]，[b]② 随机变量 $X$ 的所取值为 $ 20
$，$60 $，则\[\begin{split}P\left(X = 60\right) & = \dfrac{{{\mathrm{C}}_3^1}}{{{\mathrm{C}}_4^2}} = \dfrac{1}{2} ,\\ P\left(X = 20\right) & = \dfrac{{{\mathrm{C}}_3^2}}{{{\mathrm{C}}_4^2}} = \dfrac{1}{2}, \end{split}\]即 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X&20&60\\ \hline P&{\dfrac 1 2 }&{\dfrac 1 2 } \\ \hline \end{array}\]所以顾客所获的奖励额的期望为\[ E\left(X\right) = 60 \times\dfrac{1}{2} + 20 \times \dfrac{1}{2} = 40.\] -
商场对奖励总额的预算是 $ 60000 $ 元，并规定袋中的 $ 4 $ 个球只能由标有面值 $ 10 $ 元和 $ 50 $ 元的两种球组成，或标有面值 $ 20 $ 元和 $ 40 $ 元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 $ 4 $ 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．标注答案$ 20$，$20$，$40$，$40 $．解析“顾客得到的奖励总额尽可能的符合商场的预期”表示“顾客得到的奖励总额的期望尽可能的接近 $60000$ 元”，“各位顾客所获的奖励额相对均衡”表示“各位顾客所得金额的方差较小”．由于用 $ 60000 $ 元奖励 $ 1000 $ 名顾客，奖金的期望值为 $ 60 $ 元，如果小球的面值为 $ 10$，$10$，$10$，$50 $，则最高奖金为 $ 60 $ 元，期望值不可能为 $ 60 $ 元．
同理，小球的面值也不可能是\[ 50,50,50,10;20,20,20,40;40,40,40,20 .\]接下来讨论 $ 10$，$10$，$50$，$50 $ 和 $ 20$，$20$，$40$，$40 $ 两种方案．
若为 $ 10$，$10$，$50$，$50 $，则分布列为：\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 20 & 60 & 100 \\ \hline P & \frac 1 6 & \frac 2 3 & \frac 1 6 \\ \hline \end{array} \]所以\[E\left(X\right) = 60, D\left(X\right) = \dfrac{1600}{3}.\]若为 $ 20$，$20$，$40$，$40 $，则分布列为：\[\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline X & 40 & 60 & 80 \\ \hline P & \frac 1 6 & \frac 2 3 & \frac 1 6 \\ \hline\end{array} \]所以\[E\left(X\right) = 60, D\left(X\right) = \dfrac{400}{3}.\]所以，两种方案的期望相同，而第二种方案波动性更小，所以选择方案二：$ 20$，$20$，$40$，$40 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
