某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 $\dfrac{2}{3}$ 和 $\dfrac{3}{5}$．现安排甲组研发新产品 $ A $，乙组研发新产品 $ B $．设甲、乙两组的研发相互独立．
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（理）
【标注】
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求至少有一种新产品研发成功的概率；标注答案$\dfrac{13}{15} $．解析本题主要考查事件的独立性与对立事件，“至少有一种”的反面为“一种都没有”．记 $ E=\left\{甲组研发新产品成功\right\} $，$F=\left\{乙组研发新产品成功\right\}$．
由题设知\[P\left(E\right) = \dfrac{2}{3}, P\left(\overline E \right)= \dfrac{1}{3}, P\left(F\right) = \dfrac{3}{5}, P\left(\overline F \right) = \dfrac{2}{5}, \]且事件 $ E $ 与 $ F $，$ E $ 与 $ \overline F $，$ \overline E$ 与 $F $，$\overline E $ 与 $ \overline F$ 都相互独立．
记 $ H=\left\{至少有一种新产品研发成功\right\} $，则 $\overline H=\overline E\overline F $，于是\[P\left(\overline H\right)=P\left(\overline E\right)P\left(\overline F\right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{15}, \]故所求的概率为\[P\left(H\right)\overset{\left[a\right]}=1-P\left(\overline H\right) =1-\dfrac{2}{15}=\dfrac{13}{15}.\]（推到中用到[a]）
因此，至少有一种新产品研发成功的概率是 $\dfrac{13}{15}$． -
若新产品 $ A $ 研发成功，预计企业可获利润 $ 120 $ 万元；若新产品 $B$ 研发成功，预计企业可获利润 $ 100 $ 万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．标注答案分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
X & 0 & 100 & 120 & 220 \\ \hline
P & \frac{2}{15} & \frac{3}{15} & \frac{4}{15} & \frac{6}{15} \\ \hline \end{array}\]数学期望为 $E\left(X\right) = 140$．解析本题是离散型随机变量的分布列问题，算出 $X$ 的不同取值时的概率即可．设企业可获利润为 $ X $（万元），则 $ X $ 的可能取值为 $ 0,100,120,220 $．又\[\begin{split}P\left(X = 0\right) & = P\left(\overline E \overline F \right) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{15} , \\
P\left(X = 100\right) & = P\left( \overline E F \right) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{15},\\
P\left(X = 120\right) & = P\left(E \overline F \right) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{15} , \\
P\left(X = 220\right) & = P\left(EF\right) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{15},\end{split}\]故所求的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
X & 0 & 100 & 120 & 220 \\ \hline
P & \frac{2}{15} & \frac{3}{15} & \frac{4}{15} & \frac{6}{15} \\ \hline \end{array}\]数学期望为\[\begin{split}E\left(X\right) & = 0 \times \dfrac{2}{15} + 100 \times \dfrac{3}{15} + 120 \times \dfrac{4}{15} + 220 \times \dfrac{6}{15} \\& = \dfrac{300 + 480 + 1320}{15}\\& = 140.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
