如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AD = 1$，$CD = 2$，$AC = \sqrt 7 $．
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（理）
【标注】
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求 $\cos \angle CAD$ 的值；标注答案$\dfrac{2\sqrt 7 }{7}$．解析本题考查余弦定理．在 $\triangle ADC$ 中，由余弦定理，得\[\cos \angle CAD = \dfrac{{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}}}{2AC \cdot AD}.\]故由题设知\[\cos \angle CAD = \dfrac{7 + 1 - 4}{2\sqrt 7 } = \dfrac{2\sqrt 7 }{7}. \]
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若 $\cos \angle BAD = - \dfrac{\sqrt 7 }{14}$，$\sin \angle CBA = \dfrac{{\sqrt {21} }}{6}$，求 $BC$ 的长．标注答案$ 3$．解析$BC$ 在三角形 $ABC$ 中，同时三角形 $ABC$ 中已知 $AC$ 和其对角 $\angle ABC$，因此可以选择正弦定理或余弦定理求解 $BC$，若选择余弦定理，须知道 $AB$，题中条件不易求出 $AB$，因此需用正弦定理求解，那么求出 $\angle BAC$ 的正弦值是解题关键．设 $ \angle BAC=\alpha$，则 $\alpha=\angle BAD-\angle CAD $．
因为\[\cos \angle CAD= \dfrac{2\sqrt 7 }{7}, \cos \angle BAD = - \dfrac{\sqrt 7 }{14}\]所以\[\begin{split}\sin \angle CAD & \overset{\left[a\right]}=\sqrt{1-\cos^2\angle CAD}=\dfrac{\sqrt{21}}{7},\\ \sin \angle BAD & \overset{\left[a\right]}= \sqrt {1 - \cos ^2\angle BAD} = \dfrac{{3\sqrt {21} }}{14}.\end{split}\]（推导中用到[a]）
于是\[\begin{split}\sin \alpha & = \sin \left(\angle BAD - \angle CAD\right)
\\& \overset{\left[a\right]}= \sin \angle BAD\cos \angle CAD - \cos \angle BAD\sin \angle CAD
\\& = \dfrac{\sqrt 3 }{2}.\end{split}\]（推导中用到[b]）
在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理，得\[\dfrac{BC}{\sin \alpha} = \dfrac{AC}{\sin \angle CBA} ,\]代入数据，得 $BC=3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
