已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 满足 ${a_1} = 1$，$\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right| = {p^n}$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$．
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（理）
【标注】
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若 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是递增数列，且 ${a_1}$，$2{a_2}$，$3{a_3}$ 成等差数列，求 $p$ 的值；标注答案$p = \dfrac{1}{3}$．解析本题主要考查等差的基本量的求法和数列的单调性．根据递增数列，去掉绝对值是解题的关键．因为 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是递增数列，所以\[{a_{n + 1}} - {a_n} = \left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right| = {p^n}.\]而 ${a_1} = 1$，因此\[{a_2} = p+1 , {a_3} = p^2 + p + 1 . \]又 ${a_1}$，$2{a_2}$，$3{a_3}$ 成等差数列，所以\[4{a_2}= {a_1} + 3{a_3},\]因而\[3p^2 -p=0,\]解得\[p = \dfrac{1}{3},p = 0.\]当 $p = 0$ 时，${a_{n + 1}} = {a_n}$，这与 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是递增数列矛盾．故 $p = \dfrac{1}{3}$．
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若 $p = \dfrac{1}{2}$，且 $\left\{ {{a_{2n - 1}}} \right\}$ 是递增数列，$\left\{ {{a_{2n}}} \right\}$ 是递减数列，求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式．标注答案${a_n} = \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{{{\left( - 1\right)}^n}}}{{{2^{n - 1}}}}$．解析要求通项公式，需先确定递推公式，结合题中条件，可分奇偶确定递推，实际上，还是为了去掉绝对值．由于 $\left\{ {{a_{2n - 1}}} \right\}$ 是递增数列，因而 ${a_{2n + 1}} - {a_{2n - 1}} > 0$，于是\[\left({a_{2n+1}}-{a_{2n}}\right)+\left({a_{2n}}-{a_{2n-1}}\right)>0. \quad \cdots \cdots ① \]但 $\dfrac{1}{{{2^{2n}}}} < \dfrac{1}{{{2^{2n - 1}}}}$，所以\[\left| {{a_{2n + 1}} - {a_{2n}}} \right| < \left| {{a_{2n}} - {a_{2n - 1}}} \right|. \quad \cdots \cdots ② \]由 $ ①② $ 知，${a_{2n}} - {a_{2n - 1}} > 0$，因此\[{a_{2n}} - {a_{2n - 1}} = {\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n - 1}} = \dfrac{{{{\left( - 1\right)}^{2n}}}}{{{2^{2n - 1}}}}. \quad \cdots \cdots ③ \]因为 $\left\{ {{a_{2n}}} \right\}$ 是递减数列，同理可得 ${a_{2n + 1}} - {a_{2n}} < 0$，故\[{a_{2n + 1}} - {a_{2n}} = - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{2n}} = \dfrac{{{{\left( - 1\right)}^{2n + 1}}}}{{{2^{2n}}}}. \quad \cdots \cdots ④ \]由 $ ③④ $ 即知，${a_{n + 1}} - {a_n} = \dfrac{{{{\left( - 1\right)}^{n + 1}}}}{2^n}$，于是\[\begin{split}{a_n} & \overset{\left[a\right]}= {a_1} + \left({a_2} - {a_1}\right) + \left({a_3} - {a_2}\right) + \cdots + \left({a_n} - {a_{n - 1}}\right)
\\&= 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{{{{\left( - 1\right)}^n}}}{{{2^{n - 1}}}}
\\&= 1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{1 - {{\left( - \frac{1}{2}\right)}^{n - 1}}}}{{1 + \frac{1}{2}}}
\\& = \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{{{\left( - 1\right)}^n}}}{{{2^{n - 1}}}}.\end{split}\]（推导中用到[a]）
故数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为 ${a_n} = \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{{{\left( - 1\right)}^n}}}{{{2^{n - 1}}}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
