题目 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $ A$，$B$，$C $ 的对边分别为 $ a$，$b$，$c$，且 $a > c$，已知 $\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow {BC} = 2$，$\cos B = \dfrac{1}{3}$，$b = 3$，求： 问题1 $ a $ 和 $ c $ 的值； 答案1 $ a = 3 $，$ c = 2 $． 解析1 利用向量数量积的定义，可以得到 $ac$ 的值，再应用余弦定理可以得到 $a^2+c^2$ 的值，解关于 $a$，$c$ 的方程组即可．由 $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 2$，得\[ca\cos B = 2.\]又 $\cos B = \dfrac{1}{3}$，所以 $ca = 6$．<br/>由余弦定理，得\[{a^2} + {c^2} = {b^2} + 2ac\cos B,\]又 $b = 3$，所以\[{a^2} + {c^2} = 13,\]由\[{\begin{cases}<br/>ac = 6, \\<br/>{a^2} + {c^2} = 13,\\ a>0,c>0. \\<br/>\end{cases}}\]解得\[\begin{cases}a = 2,\\ c = 3\end{cases} 或 \begin{cases}a = 3,\\ c = 2.\end{cases}\]因为 $a > c$，所以 $ a = 3 $，$ c = 2 $． 备注1 问题2 $\cos \left(B - C\right)$ 的值． 答案2 $ \dfrac{23}{27} $． 解析2 由第一题，可以发现三角形已经给了三边和一个角了，故可以利用正弦或余弦定理求出角 $C$，然后利用两角差的余弦公式解答即可．在 $\triangle ABC$ 中，可得\[\sin B\overset {\left[a\right]} = \sqrt {1 - {{\cos }^2}B} = \dfrac{2\sqrt 2 }{3}.\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）由正弦定理，得\[ \sin C = \dfrac{c}{b}\sin B = \dfrac{4\sqrt 2 }{9}, \]因为 $a = b > c$，所以 $C$ 为锐角，因此\[ \cos C \overset{\left[b\right]}= \sqrt {1 - {{\sin }^2}C} = \dfrac{7}{9}, \]（推导中用到 $\left[b\right]$．）于是\[\cos \left(B - C\right) \overset {\left[c\right]}= \cos B\cos C + \sin B\sin C = \dfrac{23}{27}. \]（推导中用到 $\left[c\right]$．） 备注2