题目 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．<br><img src="/static/images/57381ca77605804298aa39a5ec6cf301.png" class="img-responsive" /> 问题1 求在未来连续 $ 3 $ 天里，有连续 $ 2 $ 天的日销售量都不低于 $ 100 $ 个且另 $ 1 $ 天的日销售量低于 $ 50 $ 个的概率； 答案1 $ 0.108$ 解析1 先结合频率分布直方图得到各个销售量段内的概率，然后再根据概率的公式计算．设 ${A_1}$ 表示事件“日销售量不低于 $ 100 $ 个”，${A_2}$ 表示事件“日销售量低于 $ 50 $ 个”，$ B $ 表示事件“在未来连续 $ 3 $ 天里有连续 $ 2 $ 天日销售量不低于 $ 100 $ 个且另 $ 1 $ 天的日销售量低于 $ 50 $ 个”．因此\[\begin{split}P\left({A_1}\right) &\overset{\left[a\right]}= \left(0.006 + 0.004 + 0.002\right) \times 50 = 0.6,\\P\left({A_2}\right) &\overset{\left[b\right]}= 0.003 \times 50 = 0.15,\\P\left(B\right) &\overset{\left[c\right]}= 0.6 \times 0.6 \times 0.15 \times 2 = 0.108.\end{split}\]（推导中用到：[a][b][c]） 备注1 问题2 用 $X$ 表示在未来 $ 3 $ 天里日销售量不低于 $ 100 $ 个的天数，求随机变量 $X$ 的分布列，期望 $E\left( X \right)$ 及方差 $D\left( X \right)$． 答案2 分布列为<br/>$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline<br/>X&0&1&2&3 \\ \hline<br/>P&0.064&0.288&0.432&0.216 \\ \hline<br/>\end{array}$<br/>期望 $E\left(X\right)=1.8 $，方差 $D\left(X\right)=0.72 $． 解析2 本题是独立重复试验模型，考查二项分布的分布列和数学期望．$ X $ 的可能取值为 $ 0,1,2,3 $，相应的概率为\[\begin{split}P\left(X = 0\right) &= {\mathrm{C}}_3^0 \cdot {\left(1 - 0.6\right)^3} = 0.064,\\P\left(X = 1\right) &={\mathrm{ C}}_3^1 \cdot 0.6{\left(1 - 0.6\right)^2} = 0.288,\\P\left(X = 2\right) &= {\mathrm{C}}_3^2 \cdot {0.6^2}\left(1 - 0.6\right) = 0.432,\\P\left(X = 3\right) &= {\mathrm{C}}_3^3 \cdot {0.6^3} = 0.216,\end{split}\]分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline<br/>X&0&1&2&3 \\ \hline<br/>P&0.064&0.288&0.432&0.216 \\ \hline<br/>\end{array}\]因为 $X\sim B\left(3,0.6\right) $，所以期望为\[E\left(X\right)=3\times 0.6=1.8 ,\]方差\[D\left(X\right)=3\times 0.6\times \left(1-0.6\right)=0.72. \] 备注2