将圆 ${x^2} + {y^2} = 1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 $ 2 $ 倍，得曲线 $C$．
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（理）
【标注】
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写出 $C$ 的参数方程；标注答案${\begin{cases}
x = \cos t ,\\
y = 2\sin t \\
\end{cases}} \left( t 为参数\right)$．解析本题考查直角坐标系下的伸缩变换和普通方程与参数方程的互化．设 $\left({x_1},{y_1}\right)$ 为圆 ${x^2} + {y^2} = 1$ 上的点，经变换为 $C$ 上点 $\left(x,y\right)$，
依题意，得\[{\begin{cases}
x = {x_1}, \\
y = 2{y_1}. \\
\end{cases}}\]由 $x_1^2 + y_1^2 = 1$，得\[{x^2} + {\left(\dfrac{y}{2}\right)^2} = 1,\]即曲线 $C$ 的方程为\[{x^2} + {\dfrac{y^2}{4}} = 1,\]故 $ C $ 的参数方程为 ${\begin{cases}x = \cos t ,\\
y = 2\sin t \\
\end{cases}} \left( t 为参数\right)$． -
设直线 $l:2x + y - 2 = 0$ 与 $C$ 的交点为 ${P_1}$，${P_2}$，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 ${P_1}{P_2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程．标注答案$\rho = \dfrac{3}{4\sin \theta - 2\cos \theta }$．解析本题考查普通方程与极坐标方程的互化．联立\[{\begin{cases}
{x^2} + {\dfrac{y^2}{4}} = 1, \\
2x + y - 2 = 0. \\
\end{cases}}\]解得\[{\begin{cases}x = 1, \\
y = 0 \\
\end{cases}}或{\begin{cases}x = 0, \\
y = 2. \\
\end{cases}}\]不妨设 ${P_1}\left(1,0\right)$，${P_2}\left(0,2\right)$，则线段 ${P_1}{P_2}$ 的中点坐标为 $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$，
所求直线的斜率为 $k = \dfrac{1}{2}$，于是所求直线方程为\[y - 1 = \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{2}\right),\]化为极坐标方程为\[2\rho \cos \theta - 4\rho \sin \theta = - 3,\]即 $\rho = \dfrac{3}{4\sin \theta - 2\cos \theta }$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
