设函数 $f\left( x \right) = 2\left| {x - 1} \right| + x - 1$，$g\left( x \right) = 16{x^2} - 8x + 1$，记 $f\left( x \right) \leqslant 1$ 的解集为 $M$，$g\left( x \right) \leqslant 4$ 的解集为 $N$．
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（理）
【标注】
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求 $M$；标注答案$M = \left\{ {x\left|\right. {0 \leqslant x \leqslant \dfrac{4}{3}} } \right\}$．解析本题考查含绝对值不等式的解法．由已知得\[f\left(x\right) = {\begin{cases}
3x - 3,&x \in \left[1, + \infty \right), \\
1 - x,&x \in \left( - \infty ,1\right). \\
\end{cases}}\]当 $x \geqslant 1$ 时，由 $f\left(x\right) = 3x - 3 \leqslant 1$ 得 $x \leqslant \dfrac{4}{3}$，故 $1 \leqslant x \leqslant \dfrac{4}{3}$；
当 $x < 1$ 时，由 $f\left(x\right) = 1 - x \leqslant 1$ 得 $x \geqslant 0$，故 $0 \leqslant x < 1$．
所以 $M = \left\{ {x\left|\right. {0 \leqslant x \leqslant \dfrac{4}{3}} } \right\}$． -
当 $x \in M \cap N$ 时，证明：${x^2}f\left( x \right) + x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} \leqslant \dfrac{1}{4}$．标注答案略解析可以通过研究相应函数的最值进行证明．由 $g\left(x\right) = 16{x^2} - 8x + 1 \leqslant 4$，得\[16\left(x - \dfrac{1}{4} \right)^{2} \leqslant 4,\]解得\[- \dfrac{1}{4} \leqslant x \leqslant \dfrac{3}{4},\]因此 $N = \left\{ {x\left|\right. { - \dfrac{1}{4} \leqslant x \leqslant \dfrac{3}{4}} } \right\}$，故 $M \cap N = \left\{ {x\left|\right. {0 \leqslant x \leqslant \dfrac{3}{4}} } \right\}$．
当 $x \in M \cap N$ 时，$f\left(x\right) = 1 - x$，故\[ \begin{split}{x^2}f\left(x\right) + x \cdot {\left[f\left(x\right)\right]^2}& = xf\left(x\right)\left[x + f\left(x\right)\right]\\& = x\left(1 - x\right) \\&= \dfrac{1}{4} - {\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2} \\& \leqslant \dfrac{1}{4}. \end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
