某实验室一天的温度（单位：$^\circ {\mathrm{C}}$）随时间 $t$（单位：${\mathrm{h}}$）的变化近似满足函数关系：$f\left( t \right) = 10 - \sqrt 3 \cos \dfrac{\mathrm \pi} {12}t - \sin \dfrac{\mathrm \pi} {12}t , t \in \left[ {0,24} \right)$．
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（理）
【标注】
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求实验室这一天的最大温差；标注答案$4^\circ {\mathrm{C}}$解析把函数化为正弦型函数的形式，然后计算最大值和最小值即可．因为\[f\left(t\right)\overset{\left[a\right]} = 10 - 2\sin \left(\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{12}t + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3}\right),\]（推导中用到：[a]）又 $0 \leqslant t < 24$，所以\[\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3} \leqslant \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{12}t + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3} < \dfrac{{7{\mathrm{\mathrm \pi} } }}{3},\]从而由正弦函数的性质得\[ - 1 \leqslant \sin \left(\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{12}t + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3}\right) \leqslant 1,\]当 $t = 2$ 时，\[\sin \left(\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{12}t + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3}\right) = 1;\]当 $t = 14$ 时，\[\sin \left(\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{12}t + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3}\right) = - 1;\]于是 $f\left(t\right)$ 在 $\left[0,24\right)$ 上取得最大值 $ 12 $，取得最小值 $ 8 $．
故实验室这一天最高温度为 $12^\circ {\mathrm{C}}$，最低温度为 $8^\circ {\mathrm{C}}$，最大温差为 $4^\circ {\mathrm{C}}$． -
若要求实验室温度不高于 $11^\circ {\mathrm{C}}$，则在哪段时间实验室需要降温？标注答案在 $ 10 $ 时至 $ 18 $ 时实验室需要降温．解析根据题意，可列出 $f(t)>11$，然后解三角不等式即可．依题意，当 $f\left(t\right) > 11$ 时实验室需要降温．
由（1）及题意得\[10 - 2\sin \left(\dfrac{{\mathrm \pi} }{12}t + \dfrac{{\mathrm \pi} }{3}\right) > 11,\]即\[\sin \left(\dfrac{{\mathrm \pi} }{12}t + \dfrac{{\mathrm \pi} }{3}\right) < - \dfrac{1}{2},\]又 $0 \leqslant t < 24$，由正弦函数的性质可得\[\dfrac{{7{\mathrm \pi} }}{6} < \dfrac{{\mathrm \pi} }{12}t + \dfrac{{\mathrm \pi} }{3} < \dfrac{{11{\mathrm \pi} }}{6},\]解得\[10 < t < 18,\]故在 $ 10 $ 时至 $ 18 $ 时实验室需要降温．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
