题目 已知等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 满足：${a_1} = 2$，且 ${a_1},{a_2},{a_5}$ 成等比数列． 问题1 求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式； 答案1 ${a_n} = 2$ 或 $ {a_n} = 4n - 2$． 解析1 代入基本量计算即可．设数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的公差为 $d$，依题意，$2,2 + d,2 + 4d$成等比数列，所以\[{\left(2 + d\right)^2} = 2\left(2 + 4d\right),\]化简得\[{d^2} - 4d = 0,\]解得\[d = 0 或 d = 4,\]当 $d = 0$ 时，${a_n} = 2$；<br/>当 $d = 4$ 时，${a_n} = 2 + \left(n - 1\right) \times 4 = 4n - 2$．<br/>从而得数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式为\[{a_n} = 2 或 {a_n} = 4n - 2.\] 备注1 问题2 记 ${S_n}$ 为数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正整数 $n$，使得 ${S_n} > 60n + 800$？若存在，求出 $n$ 的最小值；若不存在，说明理由． 答案2 $ 41 $． 解析2 求出 $S_n$，然后解不等式即可．当 ${a_n} = 2$ 时，${S_n} = 2n$，显然\[2n < 60n + 800,\]不存在正整数 $n$，使得 ${S_n} > 60n + 800$ 成立；<br/>当 ${a_n} = 4n - 2$ 时，\[{S_n} \overset{\left[a\right]}= \dfrac{n\left[2 + \left(4n - 2\right)\right]}{2} = 2{n^2},\]（推导中用到：[a]）令 $2{n^2} > 60n + 800$，即\[{n^2} - 30n - 400 > 0,\]解得\[n > 40 或 n < - 10 \left(舍去\right),\]此时存在正整数 $n$，使得 ${S_n} > 60n + 800$ 成立，$n$ 的最小值为 $ 41 $．<br/>综上所述，当 ${a_n} = 2$ 时，不存在满足题意的 $n$；<br/>当 ${a_n} = 4n - 2$ 时，存在满足题意的 $n$，$n$ 的最小值为 $ 41 $． 备注2