计划在某水库建一座至多安装 $ 3 $ 台发电机的水电站，过去 $ 50 $ 年的水文资料显示，水库年入流量 $X$（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在 $ 40 $ 以上．其中，不足 $ 80 $ 的年份有 $ 10 $ 年，不低于 $ 80 $ 且不超过 $ 120 $ 的年份有 $ 35 $ 年，超过 $ 120 $ 的年份有 $ 5 $ 年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（理）
【标注】
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求未来 $ 4 $ 年中，至多有 $ 1 $ 年的年入流量超过 $ 120 $ 的概率；标注答案$0.9477 $解析本题的难点在于根据题意列出每一段的概率．依题意，各相应段的概率为\[\begin{split}{P_1} & = P\left(40 < X < 80\right) = \dfrac{10}{50} = 0.2, \\
{P_2} & = P\left(80 \leqslant X \leqslant 120\right) = \dfrac{35}{50} = 0.7 , \\
{P_3} & = P\left(X > 120\right) = \dfrac{5}{50} = 0.1,\end{split}\]由二项分布，在未来 $ 4 $ 年中至多有 $ 1$ 年入流量超过 $ 120 $ 的概率为\[ \begin{split}P& = {\mathrm{C}}_4^0{\left(1 - {P_3}\right)^4} + {\mathrm{C}}_4^1{\left(1 - {P_3}\right)^3}{P_3}\\& = {\left(\dfrac{9}{10}\right)^4} + 4 \times {\left(\dfrac{9}{10}\right)^3} \times \dfrac{1}{10} \\&= 0.9477. \end{split}\] -
水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 $X$ 限制，并有如下关系；\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
年入流量X & 40 < X < 80 & 80 \leqslant X \leqslant 120 & X>120 \\ \hline
发电机最多可运行台数 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}\]若某台发电机运行，则该台年利润为 $ 5000 $ 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 $ 800 $ 万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？标注答案$ 2 $ 台．解析要分别算出安装 $1、2、3$ 台三种情形下的期望，然后比较．记水电站年总利润为 $Y$（单位：万元）．
① 安装 $ 1 $ 台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于 $ 40 $，所以一台发电机运行的概率为 $ 1 $，对应的年利润 $Y = 5000$，所以\[EY = 5000 \times 1 = 5000;\]② 安装 $ 2 $ 台发电机．
当 $40 < X < 80$ 时，一台发电机运行，此时 $Y = 5000 - 800 = 4200$，因此\[ P\left(Y = 4200\right) = P\left(40 < X < 80\right) = {P_1} = 0.2; \]当 $X \geqslant 80$ 时，两台发电机运行，此时 $Y = 5000 \times 2 = 10000$，因此\[ P\left(Y = 10000\right) = P\left(X \geqslant 80\right) = {P_2} + {P_3} = 0.8. \]由此得 $Y$ 的分布列如下：\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline
Y & 4200 & 10000 \\ \hline
P & 0.2 & 0.8 \\ \hline \end{array} \]所以\[ EY = 4200 \times 0.2 + 10000 \times0.8 = 8840;\]③ 安装 $ 3 $ 台发电机．
依题意，当 $40 < X < 80$ 时，一台发电机运行，此时 $Y = 5000 - 1600 = 3400$，因此\[ P\left(Y = 3400\right) = P\left(40 < X < 80\right) = {P_1} = 0.2; \]当 $80 \leqslant X \leqslant 120$ 时，两台发电机运行，此时 $Y = 5000 \times 2 - 800 = 9200$，此时\[ P\left(Y = 9200\right) = P\left(80 \leqslant X \leqslant 120\right) = {P_2} = 0.7; \]当 $X > 120$ 时，三台发电机运行，此时 $Y = 5000 \times 3 = 15000$，因此\[ P\left(Y = 15000\right) = P\left(X > 120\right) = {P_3} = 0.1.\]由此得 $Y$ 的分布列如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
Y & 3400 & 9200 & 15000 \\ \hline
P & 0.2 & 0.7 & 0.1 \\ \hline \end{array} \]所以\[ EY = 3400 \times 0.2 + 9200 \times 0.7 + 15000 \times 0.1 = 8620. \]综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 $ 2 $ 台．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
