在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $a \ne b$，$c = \sqrt 3 $，${\cos ^2}A - {\cos ^2}B = \sqrt 3 \sin A\cos A - \sqrt 3 \sin B\cos B$．
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（理）
【标注】
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求角 $C$ 的大小；标注答案$ \dfrac{{{\mathrm{\mathrm \pi} } }}{3}$．解析本题需要用三角恒等变换的公式进行化简，注意三个内角的关系．由倍角公式与半角公式可得\[{\cos ^2}A - {\cos ^2}B =\dfrac{1}{2}\left(1 + \cos 2A\right) - \dfrac{1}{2}\left(1 + \cos 2B\right)\]且\[\sqrt 3 \sin A\cos A - \sqrt 3 \sin B\cos B= \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin 2A - \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin 2B,\]而 ${\cos ^2}A - {\cos ^2}B = \sqrt 3 \sin A\cos A - \sqrt 3 \sin B\cos B$，故\[ \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin 2A -\dfrac{1}{2}\cos 2A= \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin 2B- \dfrac{1}{2}\cos 2B,\]从而有\[\sin \left(2A-\dfrac{{\mathrm \pi} }{6} \right) = \sin \left(2B-\dfrac{\mathrm \pi} {6}\right),\]所以有\[2A-\dfrac{\mathrm \pi} {6} = 2B-\dfrac{\mathrm \pi} {6} 或 2A-\dfrac{\mathrm \pi} {6} +2B- \dfrac{\mathrm \pi} {6} \overset{\left[a\right]}= {\mathrm \pi} ,\]（推导中用到：[a]）即\[A = B 或A+B=\dfrac{2 {\mathrm \pi} }{3},\]因为 $a \ne b$，所以 $A + B = \dfrac{2{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3}$，所以 $C = \dfrac{{{\mathrm{\mathrm \pi} } }}{3}$．
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若 $\sin A = \dfrac{4}{5}$，求 $\triangle ABC$ 的面积．标注答案$ \dfrac{18 + 8\sqrt 3 }{25}.$解析本题考查正弦定理与三角形的面积公式，注意不同角度的三角函数值之间的转化．由（1）知\[\sin C = \dfrac{\sqrt 3 }{2}, \cos C = \dfrac{1}{2},\]所以\[\begin{split}\sin B& \overset{\left[a\right]}= \sin \left(A + C\right)\\& \overset{\left[b\right]}= \sin A\cos C{ + }\cos C\sin A\\& = \dfrac{3\sqrt 3 + 4}{10},\end{split}\]（推导中用到：[a][b]）由正弦定理$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$ 知\[a = \dfrac{8}{5},\]由三角形的面积公式可得\[\begin{split}{S_{\triangle ABC}}\overset{\left[c\right]} = \dfrac{1}{2}ac\sin B = \dfrac{18 + 8\sqrt 3 }{25}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
