已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${a_1} = 1 $，$ {a_n} \ne 0 $，$ {a_n}{a_{n + 1}} = \lambda {S_n} - 1$，其中 $\lambda $ 为常数．
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅰ卷（理）
【标注】
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证明：${a_{n + 2}} - {a_n} = \lambda $；标注答案略解析本题利用 ${S_n-S_{n-1}}=a_n$ 化简条件为数列 $\{a_n\}$ 的递推关系进行证明．由题意得\[{\begin{cases}
{a_n}{a_{n + 1}} = \lambda {S_n} - 1 \cdots ① ,\\
{a_{n + 1}}{a_{n + 2}} = \lambda {S_{n + 1}} - 1,\cdots ② \\
\end{cases}}\]$ ② - ① $ 得\[\begin{split}{a_{n + 1}}{a_{n + 2}} - {a_n}{a_{n + 1}} &=\lambda\left(S_{n+1}-S_n\right) \\&\overset{\left[a\right]}=\lambda {a_{n + 1}}.\end{split}\]（推理中用到：$\left[a\right]$）
又因为 ${a_n} \ne 0$，所以 ${a_{n + 1}} \ne 0$，所以\[{a_{n + 2}} - {a_n} = \lambda .\] -
是否存在 $\lambda $，使得 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为等差数列？并说明理由．标注答案存在 $\lambda = 4$，使得 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为等差数列．解析第 $1$ 问中，已证明数列 $\{a_n\}$ 为隔项等差数列，只需证明此数列前三项满足等差关系即可．假设存在 $\lambda $，使得 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为等差数列．
由（1）知\[{\begin{cases}
{a_1}{a_2} = \lambda {a_1} - 1, \\
{a_3} - {a_1} = \lambda ,\\
\end{cases}}\]因为 ${a_1} = 1$，所以\[{\begin{cases}{a_2} = \lambda - 1, \\
{a_3} = \lambda + 1, \\
\end{cases}}\]因为 ${a_1} + {a_3} = 2{a_2}$，所以\[\lambda + 2 = 2\left( {\lambda - 1} \right),\]所以 $\lambda = 4$，故\[{a_{n + 2}} - {a_n} = 4,\]所以 $\left\{ {{a_{2n - 1}}} \right\}$ 是首项为 $ 1 $，公差为 $ 4 $ 的等差数列，\[\begin{split}{a_{2n - 1}} &= 4n - 3\\&=2\left(2n-1\right)-1;\end{split}\]$\left\{ {{a_{2n}}} \right\}$ 是首项为 $ 3 $，公差为 $ 4 $ 的等差数列，\[\begin{split}{a_{2n}} &= 4n - 1\\&=2\cdot 2n-1.\end{split}\]所以\[{a_n} = 2n - 1,n\in \mathbb N^*,\]故\[{a_{n + 1}} - {a_n} = 2.\]因此存在 $\lambda = 4$，使得 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为等差数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
