题目 从某企业生产的某种产品中抽取 $ 500 $ 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：<br><img src="/static/images/adce20da7461513bddc8d470a455dfce.png" class="img-responsive" /> 问题1 求这 $ 500 $ 件产品质量指标值的样本平均数 $\overline x $ 和样本方差 ${s^2}$（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； 答案1 $ \overline x= 200 $；$ s^2= 150 $ 解析1 本题考查频率分布直方图、平均数以及方差的相关知识．频率分布直方图中的每一组在计算平均数时，取中间值计算．由频率分布直方图可得，抽取产品的质量指标值的样本平均数\[\begin{split}\overline x &= 170 \times 0.02 + 180 \times 0.09 + 190 \times 0.22 + 200 \times 0.33 + 210 \times 0.24 + 220 \times 0.08 + 230 \times 0.02 \\&= 200,\end{split} \]样本方差\[\begin{split} s^2 & = \left( - 30 \right)^2 \times 0.02 + \left( - 20 \right)^2 \times 0.09 + \left( - 10 \right)^2 \times 0.22 + 0 \times 0.33 + {10^2} \times 0.24 + {20^2} \times 0.08 + {30^2} \times 0.02 \\& = 150.\end{split}\] 备注1 问题2 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu ,{\sigma ^2}\right)$，其中 $\mu $ 近似为样本平均数 $\overline x $，${\sigma ^2}$ 近似为样本方差 ${s^2}$．<br/>（i）利用该正态分布，求 $P\left(187.8 < Z < 212.2\right)$；<br/>（ii）某用户从该企业购买了 $ 100 $ 件这种产品，记 $X$ 表示这 $ 100 $ 件产品中质量指标值位于区间 $\left( {187.8,212.2} \right)$ 的产品件数，利用（i）的结果，求 $EX$．<br/>附：$\sqrt {150} \approx 12.2$，若 $Z \sim N\left(\mu ,{\sigma ^2}\right)$，则 $P\left(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma \right) = 0.6826$，$P\left(\mu - 2\sigma < Z < \mu + 2\sigma \right) = 0.9544$． 答案2 （i）$ P\left( {187.8 < Z < 212.2} \right) = 0.6826 $；（ii）$ EX = 68.26 $． 解析2 本题考查正态分布、二项分布相关问题．（i）由（1）知，$Z \sim N \left( {200,150} \right)$，从而\[\begin{split}P\left( {187.8 < Z < 212.2} \right) & = P\left( {200 - 12.2 < Z < 200 + 12.2} \right) \\& = 0.6826.\end{split}\]（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间 $\left( {187.8,212.2} \right)$ 的概率为 $0.6826$，<br/>依题意知 $X \sim B\left( {100,0.6826} \right)$，所以\[EX = 100 \times 0.6826 = 68.26.\] 备注2