如图，三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 中，侧面 $B{B_1}{C_1}C$ 为菱形，$AB \perp {B_1}C$．
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅰ卷（理）
【标注】
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证明：$AC = A{B_1}$；标注答案略解析本题要证三角形 $ACB_1$ 为等腰三角形，可尝试利用证明三线合一的方式进行．连接 $B{C_1}$，交 ${B_1}C$ 于 $O$，连接 $AO$．
因为侧面 $B{B_1}{C_1}C$ 为菱形，所以 ${B_1}C \perp B{C_1}$，且 $O$ 为 ${B_1}C$ 与 $B{C_1}$ 的中点．
又 $AB \perp B_1C$，$AB \cap BO=B$，
所以 $B_1C \perp 平面ABO$．
由于 $AO \subset 平面ABO$，故 $B_1C \perp AO$．
又 ${B_1}O = CO$，故 $AC = A{B_1}$． -
若 $AC \perp A{B_1}$，$\angle CB{B_1} = {60^{ \circ }}$，$AB = BC$，求二面角 $A - {A_1}{B_1} - {C_1}$ 的余弦值．标注答案$\dfrac{1}{7}$解析本题考查空间向量法在立体几何中的应用．计算出两个面的法向量，通过其夹角的余弦值得到二面角的余弦值．因为 $AC \perp A{B_1}$ 且 $O$ 为 ${B_1}C$ 的中点，
所以 $AO = CO$．
又因为 $AB = BC$，所以 $\triangle BOA \cong \triangle BOC$，
所以 $ \angle{BOA}=\angle{BOC}=90^{\circ} $，故 $OA \perp OB$，从而 $OA , OB , O{B_1}$ 两两互相垂直．
以 $O$ 为坐标原点，$\overrightarrow {OB},\overrightarrow {O{B_1}},\overrightarrow {OA}$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向，$\left| {\overrightarrow {OB}} \right|$ 为单位长 $ 1 $，建立如图所示空间直角坐标系 $O - xyz$．
因为 $\angle CB{B_1} = {60^ \circ }$，所以 $\triangle CB{B_1}$ 为等边三角形，且边长为 $\dfrac{2\sqrt 3}{3}$．
又 $AB = BC=\dfrac{2\sqrt 3}{3}$，则 $A\left( {0,0,\dfrac{\sqrt 3 }{3}} \right)$，$B\left( {1,0,0} \right)$，${B_1}\left( {0,\dfrac{\sqrt 3 }{3},0} \right)$，$C\left( {0, - \dfrac{\sqrt 3 }{3},0} \right)$，\[\begin{split}\overrightarrow {A{B_1}} & = \left( {0,\dfrac{\sqrt 3 }{3}, - \dfrac{\sqrt 3 }{3}} \right) ,\\ \overrightarrow {{A_1}{B_1}} & = \overrightarrow {AB} = \left( {1,0, - \dfrac{\sqrt 3 }{3}} \right) , \\ \overrightarrow {{B_1}{C_1}} & = \overrightarrow {BC} = \left( { - 1, - \dfrac{\sqrt 3 }{3},0} \right).\end{split}\]设 $\overrightarrow n = \left( {x,y,z} \right)$ 是平面 $A{A_1}{B_1}$ 的法向量，则\[{\begin{cases}\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {A{B_1}} = 0 ,\\
\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{A_1}{B_1}} = 0, \\
\end{cases}}\]即\[{\begin{cases}\dfrac{\sqrt 3 }{3}y - \dfrac{\sqrt 3 }{3}z = 0, \\
x - \dfrac{\sqrt 3 }{3}z = 0, \\
\end{cases}}\]所以可取 $\overrightarrow n = \left( {1,\sqrt 3 ,\sqrt 3 } \right)$．
设 $\overrightarrow m=\left(x',y',z'\right)$ 是平面 ${A_1}{B_1}{C_1}$ 的法向量，则\[{\begin{cases}
\overrightarrow m \cdot \overrightarrow {{B_1}{C_1}} = 0 ,\\
\overrightarrow m \cdot \overrightarrow {{A_1}{B_1}} = 0, \\
\end{cases}}\]即\[{\begin{cases}-x'-\dfrac{\sqrt 3}{3}y' = 0, \\
x' - \dfrac{\sqrt 3 }{3}z' = 0, \\
\end{cases}}\]同理可取 $\overrightarrow m = \left( {1, - \sqrt 3 ,\sqrt 3 } \right)$，则\[\begin{split}\cos \left\langle {\overrightarrow n ,\overrightarrow m } \right\rangle = \dfrac{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow m }{{\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow m} \right|}} = \dfrac{1}{7},\end{split}\]所以二面角$A - {A_1}{B_1} - {C_1}$ 的余弦值为 $\dfrac{1}{7}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
