已知曲线 $C : \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$，直线 $l : \begin{cases}
x = 2 + t \\
y = 2 - 2t \\
\end{cases}$（$t$ 为参数）．
x = 2 + t \\
y = 2 - 2t \\
\end{cases}$（$t$ 为参数）．
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅰ卷（理）
【标注】
-
写出曲线 $C$ 的参数方程，直线 $l$ 的普通方程；标注答案曲线 $ C $ 的参数方程为 $ \begin{cases}
x = 2\cos \theta \\
y = 3\sin \theta \\
\end{cases}\left(\theta 为参数\right) $；直线 $l$ 的普通方程为 $ 2x + y - 6 = 0 $．解析本题考查参数方程化为直角坐标方程的相关知识．通过加减消元或代入消元消去参数 $t$，得到 $x$ 和 $y$ 的关系即可．曲线 $ C $ 的参数方程为\[\begin{cases}
x = 2\cos \theta \\
y = 3\sin \theta \\
\end{cases}\left(\theta 为参数\right),\]直线 $l$ 的普通方程为\[2x + y - 6 = 0.\] -
过曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作与 $l$ 夹角为 $30^\circ$ 的直线，交 $l$ 于点 $A$，求 $|PA|$ 的最大值与最小值．标注答案$\left| {PA} \right|$ 最大值为 $\dfrac{22\sqrt 5 }{5}$，最小值为 $\dfrac{2\sqrt 5 }{5}$．解析本题考查平面距离的相关问题．用圆的参数方程表示点的坐标，再通过点到直线距离公式用三角表达出 $|PA|$ 的距离．在曲线 $ C $ 上任意取一点 $P\left(2\cos \theta ,3\sin \theta \right)$ 到 $l$ 的距离为\[d = \dfrac{\sqrt 5 }{5}\left| {4\cos \theta + 3\sin \theta - 6} \right|,\]则\[\begin{split}\left| {PA} \right| & = \dfrac{d}{{\sin {{30}^\circ}}} \\&\overset{\left[a\right]} = \dfrac{2\sqrt 5 }{5}\left| {5\sin \left(\theta + \alpha \right) - 6} \right|,\end{split}\]（推导中用到：$\left[a\right]$）
其中 $\alpha $ 为锐角，且 $\tan \alpha = \dfrac{4}{3}$．
当 $\sin \left(\theta + \alpha \right) = - 1$ 时，$\left| {PA} \right|$ 取得最大值 $\dfrac{22\sqrt 5 }{5}$，
当 $\sin \left(\theta + \alpha \right) = 1$ 时，$\left| {PA} \right|$ 取得最小值 $\dfrac{2\sqrt 5 }{5}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
