设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 和为 ${S_n}$，满足 ${S_n}= 2n{a_{n + 1}} - 3{n^2} - 4n$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$，且 ${S_3} = 15$．
【难度】
【出处】
2014年高考广东卷（理）
【标注】
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求 ${a_1}$，$ {a_2} $，${a_3}$ 的值；标注答案${a_1} = 3 $，${a_2} = 5$，${a_3} = 7$．解析本小问是考查数列的概念，数列的项与前 $n$ 项和的关系式，通过对 $n$ 进行赋值，计算出数列中的几项．由 $S_n=2na_{n+1}-3n^2-4n$，$n\in\mathbb N^*$ 得，\[\begin{cases}
{S_1} \overset{\left[a\right]}= {a_1} = 2{a_2} - 7 ,\\
{S_2} \overset{\left[a\right]}= {a_1} + {a_2} = 4{a_3} - 20 ,\\
{a_1} + {a_2} + a{}_3 = 15 ,\\
\end{cases}\]（推导中用到：[a]）
解得\[\begin{cases}
{a_1} = 3 ,\\
{a_2} = 5 ,\\
{a_3} = 7. \\
\end{cases}\] -
求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=2n+1 $．解析通过分析所给的式子，首先会想到用由通项公式与求和公式关系求通项公式的方法，但是尝试后发现求出通项比较困难，此时可以尝试写几项归纳通项公式，然后用数学归纳法证明．由（1）问猜想 ${a_n} = 2n + 1$．用数学归纳法证明．
当 $n = 1$ 时，满足题意．
假设当 $n=k\left(k\geqslant 2\right)$ 时满足通项公式，即 ${a_k} = 2k + 1$，则\[\begin{split}S_k&=3+5+\cdots +\left(2k+1\right)\\&=\dfrac{k\left[3+\left(2k+1\right)\right]}{2}\\&=k\left(k+2\right),\end{split}\]又\[S_k=2ka_{k+1}-3k^2-4k,\]所以\[k\left(k+2\right)=2ka_{k+1}-3k^2-4k,\]解得\[a_{k+1}=2k+3,\]即\[a_{k+1}=2\left(k+1\right)+1.\]于是，当 $n=k+1$ 时，满足通项公式 $a_n=2n+1$．综上，$\forall n \in {\mathbb{N}}^*$，$a_n=2n+1 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
