已知向量 $\overrightarrow a = \left(m,\cos 2x\right)$，$\overrightarrow b = \left(\sin 2x,n\right)$，函数 $f\left(x\right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b $，且 $y = f\left(x\right)$ 的图象过点 $\left(\dfrac{{\mathrm \pi} }{12},\sqrt 3 \right)$ 和点 $\left(\dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}, - 2\right)$．
【难度】
【出处】
2014年高考山东卷（理）
【标注】
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求 $m$，$n$ 的值；标注答案$m = \sqrt 3$，$n = 1$．解析本题的关键条件有两个：一是用数量积定义函数 $f\left(x\right)$；二是 $f\left(x\right)$ 的图象上过已知的两点．利用关键条件一能用 $m$，$n$ 表示函数 $f\left(x\right)$ 的解析式，利用关键条件二，能求出 $m$，$n$．由题意知\[f\left(x\right) = {\overrightarrow{a}} \cdot {\overrightarrow{b}} \overset{\left[a\right]}= m\sin 2x + n\cos 2x,\]（推导中用到：[a]）
因为 $ f\left(x\right)$ 的图象过点 $\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {12},\sqrt 3 } \right),\left( {\dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}, - 2} \right)$，所以\[\begin{cases} f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {12}\right) \overset{\left[b\right]}= \dfrac{1}{2}m + \dfrac{\sqrt 3 }{2}n = \sqrt 3 ,\\ f\left(\dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}\right) \overset{\left[b\right]}= - \dfrac{\sqrt 3 }{2}m - \dfrac{1}{2} n= - 2.\end{cases}\]（推导中用到：[b]）
解得\[\begin{cases}
m = \sqrt 3, \\
n = 1.\\
\end{cases}\] -
将 $y = f\left(x\right)$ 的图象向左平移 $\varphi \left(0 < \varphi < {\mathrm \pi} \right) $ 个单位后得到函数 $y = g\left(x\right)$ 的图象．若 $y = g\left(x\right)$ 图象上各最高点到点 $\left(0,3\right)$ 的距离的最小值为 $ 1 $，求 $y = g\left(x\right)$ 的单调增区间．标注答案$ g\left(x\right)$ 的单调增区间为 $\left[ { - \dfrac{{\mathrm \pi} }{2} + k{\mathrm \pi} ,k{\mathrm \pi} } \right],k \in {\mathbb {Z}}$．解析此题的易错点是图象平移，左右平移是针对横坐标的变换，平移时需要提出横坐标 $x$ 的系数，难点是挖掘哪个最高点到 $\left(0,3\right)$ 的距离最小为 $1$，不妨先设出最高点的坐标，然后求得最高点的坐标．进而利用正弦型函数的图象与性质，求得递增区间．由（1）可得\[f\left(x\right) = \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x \overset{\left[c\right]}= 2\sin \left(2x + \dfrac{\mathrm \pi} {6}\right) , \]（推导中用到：[c]）
函数 $y=f\left(x\right)$ 向左平移 $\varphi$ 个单位后得到 $g\left(x\right)$ 的图象，则\[g\left(x\right) = f\left(x + \varphi \right) = 2\sin \left(2x + 2\varphi + \dfrac{\mathrm \pi} {6}\right).\]设 $g\left(x\right)$ 的对称轴为 $x = {x_0}$，因为 $ d = \sqrt {1 + {x_0}^2} = 1$，解得 ${x_0} = 0$，
所以 $ g\left(0\right) = 2$，又 $0<\varphi<{\mathrm \pi} $，于是\[\varphi = \dfrac{\mathrm \pi} {6},\]所以\[\begin{split} g\left(x\right) & = 2\sin \left(2x + \dfrac{\mathrm \pi} {3} + \dfrac{{\mathrm \pi} }{6}\right) \\& = 2\sin \left(2x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}\right) \\& = 2\cos 2x,\end{split}\]故 $ - {\mathrm \pi} + 2k{\mathrm \pi} \leqslant 2x \leqslant 2k{\mathrm \pi} ,k \in {\mathbb{Z}}$，\[- \dfrac{{\mathrm \pi} }{2} + k{\mathrm \pi} \leqslant x \leqslant k{\mathrm \pi} ,k \in {\mathbb{Z}},\]因此 $ g\left(x\right)$ 的单调增区间为 $\left[ { - \dfrac{{\mathrm \pi} }{2} + k{\mathrm \pi} ,k{\mathrm \pi} } \right],k \in {\mathbb{Z}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
