乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 $ A $，$ B $，乙被划分为两个不相交的区域 $ C $，$ D $．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在 $ C $ 上记 $ 3 $ 分，在 $ D $ 上记 $ 1 $ 分，其他情况记 $ 0 $ 分．对落点在 $ A $ 上的来球，队员小明回球的落点在 $ C $ 上的概率为 $\dfrac{1}{2}$，在 $ D $ 上的概率为 $\dfrac{1}{3}$；对落点在 $ B $ 上的来球，小明回球的落点在 $ C $ 上的概率为 $\dfrac{1}{5}$，在 $ D $ 上的概率为 $\dfrac{3}{5}$．假设共有两次来球且落在 $ A $，$ B $ 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
【难度】
【出处】
2014年高考山东卷（理）
【标注】
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小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；标注答案$\dfrac{3}{10}$．解析小明回球落在乙上的概率与来球落得位置有关，故需要把事件“恰有一次落在乙上”的所有情况都写出，这些事件都是互斥事件．设 $E$ 为事件“来球落在 $A$ 上，回球落在乙上”，则\[P\left(E\right)\overset{\left[a\right]}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}.\]（推导中用到：[a]）
设 $F$ 为事件“来球落在 $B$ 上，回球落在乙上”，则\[P\left(F\right)\overset{\left[a\right]}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{5}.\]（推导中用到：）
设回球的落点恰有一次在乙上为事件 $G$，则\[P\left(G \right) \overset{\left[b\right]}= P\left(E\right)\cdot P\left(\overline F\right)+P\left(\overline E\right)\cdot P\left(F\right)=\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{3}{10}.\]（推导中用到：[b]） -
两次回球结束后，小明得分之和 $\xi $ 的分布列与数学期望．标注答案$ \xi $ 的分布列为：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \xi & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 \\ \hline P & \frac{1}{30} & \frac 1 6 & \frac 1 5 & \frac{2}{15} & \frac{11}{30} & \frac{1}{10} \\ \hline \end{array}\]数学期望为 $E\left( \xi \right) = \dfrac{91}{30}$．解析考查离散型随机变量的分布列与数字特征，根据题目条件，将独立事件的概率计算出来即可．$\xi $ 的可能取值为 $0$，$ 1 $，$ 2 $，$ 3 $，$ 4 $，$6$．
由事件的独立性与互斥性可得\[\begin{split}P\left( {\xi = 0} \right) & = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{30} ,\\ P\left( {\xi = 1} \right) & = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{6} ,\\ P\left( {\xi = 2} \right) & = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{5}, \\ P\left( {\xi = 3} \right) & = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{15} , \\ P\left( {\xi = 4} \right) & = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{11}{30}, \\ P\left( {\xi = 6} \right) & = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{10}.\end{split}\]所以 $ \xi $ 的分布列为：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \xi & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 \\ \hline P & \frac{1}{30} & \frac 1 6 & \frac 1 5 & \frac{2}{15} & \frac{11}{30} & \frac{1}{10} \\ \hline \end{array}\]所以其数学期望为\[\begin{split}E\left( \xi \right) & = 0 \times \dfrac{1}{30} + 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{5} + 3 \times \dfrac{2}{15} + 4 \times \dfrac{11}{30} + 6 \times \dfrac{1}{10} \\& = \dfrac{91}{30}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
