已知等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的公差为 $ 2 $，前 $n$ 项和为 ${S_n}$，且 ${S_1}$，$ {S_2} $，${S_4}$ 成等比数列．
【难度】
【出处】
2014年高考山东卷（理）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式；标注答案$ {a_n} = 2n - 1$．解析本小问考查等差数列的基本量，根据条件，用公差和首项来表示数列中项和前 $n$ 项和即可解决．由题可知 $d = 2$，${S_1} = {a_1}$，故\[\begin{cases}{S_2} &\overset{a} = 2{a_1} + d, \\ {S_4} & \overset{\left[a\right]}= 4{a_1} + 6d.\end{cases}\]（推导中用到：[a]）
因为 $ {S_1}$，$ {S_2} $，${S_4}$ 成等比数列，所以\[ S_2^2 = {S_1}{S_4} ,\]解得 ${a_1} = 1$，因此\[ {a_n} = 2n - 1.\] -
令 ${b_n} = {\left( - 1\right)^{n - 1}}\dfrac{4n}{{{a_n}{a_{n + 1}}}}$，求数列 $\left\{ {b_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和 ${T_n}$．标注答案$ {T_n} = \begin{cases}
\dfrac{2n}{2n + 1},n为偶数, \\
\dfrac{2n + 2}{2n + 1},n为奇数. \\
\end{cases}$解析数列求和时，若是分式形式（不包括差比数列）一般我们会考虑裂项求和，若通项中含有 $(-1)^{n}$ 的，一般我们可以用分组求和，由于 $n$ 的奇偶性不同，取得正负号不同，大多我们要对 $n$ 是奇数与偶数进行分类．$\{b_n\}$ 的通项是两者的综合，故需要这两种数列求和技巧结合．由（1）将 $a_n=2n-1$ 代入得\[\begin{split}{b_n} & = {\left( - 1\right)^{n - 1}}\dfrac{4n}{{{a_n}{a_{n + 1}}}} \\& = {\left( - 1\right)^{n - 1}}\left(\dfrac{1}{2n - 1} + \dfrac{1}{2n + 1}\right),\end{split}\]当 $n$ 为偶数时，\[{T_n}\overset{\left[a\right]} = \left(1 + \dfrac{1}{3}\right) - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{2n - 3} + \dfrac{1}{2n - 1}\right) - \left(\dfrac{1}{2n - 1} + \dfrac{1}{2n + 1}\right),\]（推导中用到：[a]）
所以\[T_n=\dfrac{2n}{2n+1};\]当 $n$ 为奇数时，\[{T_n} \overset{\left[a\right]}= \left(1 + \dfrac{1}{3}\right) - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}\right) + \cdots - \left(\dfrac{1}{2n - 3} + \dfrac{1}{2n - 1}\right) + \left(\dfrac{1}{2n - 1} + \dfrac{1}{2n + 1}\right),\]（推导中用到：[a]）
所以数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和\[ {T_n} = 1 + \dfrac{1}{2n + 1} = \dfrac{2n + 2}{2n + 1},\]故\[ {T_n} = \begin{cases}
\dfrac{2n}{2n + 1},n为偶数, \\
\dfrac{2n + 2}{2n + 1},n为奇数. \\
\end{cases}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
