如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3}$，$AB = 8$，点 $D$ 在 $BC$ 边上，且 $CD = 2$，$\cos \angle ADC = \dfrac{1}{7}$．
【难度】
【出处】
2014年高考北京卷（理）
【标注】
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求 $\sin \angle BAD$；标注答案$ \dfrac{3\sqrt 3 }{14} $解析注意到所求角与已知角的关系，构造差角形式，利用公式进行求解．因为\[\sin \angle ADC \overset{\left[a\right]}= \sqrt {1 - {{\cos }^2}\angle ADC} = \dfrac{4\sqrt 3 }{7},\]（推导中用到：$\left[a\right]$）
所以\[ \begin{split}\sin \angle BAD &= \sin \left(\angle ADC - \angle B\right) \\& \overset{\left[b\right]}= \sin \angle ADC \cdot \cos \angle B - \cos \angle ADC \cdot \sin \angle B \\& = \dfrac{4\sqrt 3 }{7} \times \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{7} \times \dfrac{\sqrt 3 }{2} \\& = \dfrac{3\sqrt 3 }{14} .\end{split}\]（推导中用到：$\left[b\right]$） -
求 $BD,AC$ 的长．标注答案$ BD = 3 $；$ AC = 7$解析本题考查正余弦定理的简单应用．选择合适的三角形是本题的关键．在 $\triangle ABD$ 中，由正弦定理得\[\dfrac{AB}{\sin \angle ADB} = \dfrac{AD}{\sin \angle B} = \dfrac{BD}{\sin \angle BAD},\]即\[\dfrac{8}{{\dfrac{4\sqrt 3 }{7}}} = \dfrac{AD}{{\dfrac{\sqrt 3 }{2}}} = \dfrac{BD}{{\dfrac{3\sqrt 3 }{14}}},\]解得\[BD = 3,AD = 7.\]在 $\triangle ACD$ 中，由余弦定理得\[\begin{split} A{C^2} &= A{D^2} + D{C^2} - 2AD \cdot DC \cdot \cos \angle ADC \\& = {7^2} + {2^2} - 2 \times 7 \times 2 \times \dfrac{1}{7} \\& = 49 ,\end{split} \]所以 $ AC = 7$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
