如图，正方形 $AMDE$ 的边长为 $ 2 $，$B$，$C$ 分别为 $AM$，$MD$ 的中点，在五棱锥 $P - ABCDE$ 中，$F$ 为棱 $PE$ 的中点，平面 $ABF$ 与棱 $PD$，$PC$ 分别交于点 $G$，$H$．
【难度】
【出处】
2014年高考北京卷（理）
【标注】
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求证：$AB\parallel FG$；标注答案略解析本题考查线面平行的性质定理．两个平面相交，若其中一个平面上的一条直线平行与另一个平面，则该直线平行于两个平面的交线．$\because AM\parallel ED$，$AM \not\subset 面 PED$，$ED \subset 面 PED$，
$\therefore AM\parallel 面 PED$．
$\because AM \subset 面 ABF$，即 $AB \subset 面 ABF$，面 $ABF \cap 面 PED = FG$，
$\therefore AB\parallel FG$． -
若 $PA \perp 平面 ABCDE$，且 $PA = AE$，求直线 $BC$ 与平面 $ABF$ 所成角的大小，并求线段 $PH$ 的长．标注答案直线 $BC$ 与平面 $ABF$ 所成角为 $\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}$；线段 $ PH $ 的长度为 $2$解析本题考查空间向量计算线面角的相关问题．求出直线的方向向量和平面的法向量，得到向量的夹角，即可得到线面角．如图建立空间直角坐标系 $A - xyz$，
各点坐标如下：\[A\left(0,0,0\right),E\left(0,2,0\right),B\left(1,0,0\right),C\left(2,1,0\right),F\left(0,1,1\right),P\left(0,0,2\right).\]设平面 $ABF$ 的法向量为 $\overrightarrow n = \left({x},{y},{z}\right)$，又 $\overrightarrow {AB} = \left(1,0,0\right)$，$ \overrightarrow {AF} = \left(0,1,1\right)$，\[\begin{cases}
\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {AB} = 0 ,\\
\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {AF} = 0 ,\\
\end{cases}\]即\[\begin{cases}x = 0, \\
y + z = 0 ,\\
\end{cases}\]令 $y = 1$ 得\[\overrightarrow n = \left(0,1, - 1\right).\]又 $ \overrightarrow {BC} = \left(1,1,0\right)$，所以\[ \cos \left\langle \overrightarrow {BC},\overrightarrow n \right\rangle = \dfrac{1}{\sqrt 2 \times \sqrt 2 } = \dfrac{1}{2},\]所以直线 $BC$ 与平面 $ABF$ 所成角为 $\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}$．
设 $H\left({x_1},{y_1},{z_1}\right)$，由 $\overrightarrow {PH} = t\overrightarrow {PC}\left(0<t<1\right)$，则\[\left({x_1},{y_1},{z_1} - 2\right) = t\left(2,1, - 2\right),\]所以\[H\left(2t ,t,2 - 2t\right).\]又 $ H \in 面 ABF$，$\overrightarrow {BH} = \left(2t - 1,t,2 - 2t\right)$，所以\[\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {BH} = 0,\]所以 $ t + 2t - 2 = 0$，$ t = \dfrac{2}{3}$，可得 $ H\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right)$，\[\overrightarrow {PH} = \left( {\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3},-\dfrac{4}{3}} \right),\]因此线段 $ PH $ 的长度为\[ PH=\sqrt{\left(\dfrac 43\right)^2+\left(\dfrac 23\right)^2+\left(-\dfrac 43\right)^2}=2. \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
