已知函数 $f\left( x \right) = 4\cos \omega x \cdot \sin \left( {\omega x + \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)\left( {\omega > 0} \right)$ 的最小正周期为 ${\mathrm \pi} $．
【难度】
【出处】
2013年高考安徽卷（理）
【标注】
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求 $\omega $ 的值；标注答案$ \omega =1 $．解析先利用三角函数恒等变换公式化简函数关系式，再根据正弦型函数的性质解答即可．因为\[\begin{split} f\left( x \right)&=4\cos \omega x\cdot \sin \left( \omega x+\frac{ \!\!{\mathrm \pi} \!\! }{4} \right) \\&\overset {\left[a\right]}=2\sqrt{2}\sin \omega x\cdot \cos \omega x+2\sqrt{2}{{\cos }^{2}}\omega x \\&\overset {\left[b\right]}=\sqrt{2}\left( \sin 2\omega x+\cos 2\omega x \right)+\sqrt{2} \\& \overset {\left[c\right]}=2\sin \left( 2\omega x+\frac{ \!\!{\mathrm \pi} \!\! }{4} \right)+\sqrt{2}.\end{split} \]（推导中用到 $\left[a\right] $，$ \left[b\right] $，$ \left[c\right] $．）且 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $ {\mathrm{\mathrm \pi} } $，$\omega >0$，从而有\[\dfrac{2\mathrm{\mathrm \pi} }{2\omega }\overset {\left[d\right]}={\mathrm{\mathrm \pi} },\]（推导中用到 $\left[d\right] $．）故 $\omega =1$．
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讨论 $f\left( x \right)$ 在区间 $\left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$ 上的单调性．标注答案$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ 0,\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{8} \right]$ 上单调递增，在区间 $\left( \dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{8},\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{2} \right]$ 上单调递减．解析本题考查正弦型函数的性质，类比求正弦函数的单调性处理即可．由（1）知\[f\left(x\right)=2\sin \left( 2x+\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{4} \right)+\sqrt{2}.\]若 $0\leqslant x\leqslant \dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{2}$，则\[\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{4} \leqslant 2x+\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{4} \leqslant \dfrac{5{\mathrm{\mathrm \pi} }}{4}.\]由正弦型函数的性质知：
当 $\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{4}\leqslant 2x+\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{4}\leqslant \dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{2}$，即 $0\leqslant x\leqslant \dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{8}$ 时，$f\left(x\right)$ 单调递增；
当 $\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{2}<2x+\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{4}\leqslant \dfrac{5\mathrm{\mathrm \pi} }{4}$，即 $\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{8} < x\leqslant \dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{2}$ 时，$f\left(x\right)$ 单调递减．
综上可知，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ 0,\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{8} \right]$ 上单调递增，在区间 $\left( \dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{8},\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{2} \right]$ 上单调递减．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
