设函数 $f\left( x \right) = ax - \left( {1 + {a^2}} \right){x^2}$，其中 $a > 0$，区间 $I = \left\{ {x\left|\right.f\left( x \right){ > 0 }} \right\}$．
【难度】
【出处】
2013年高考安徽卷（文）
【标注】
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求 $I$ 的长度（注：区间 $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ 的长度定义为 $\beta - \alpha $）；标注答案区间 $ I $ 的长度为 $\dfrac{a}{1+{{a}^{2}}}$．解析本题主要考查含参一元二次不等式的解法，难度不大．因为方程 $ax-\left(1+{{a}^{2}}\right){{x}^{2}}=0\left(a>0\right)$ 有两个实根\[{{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=\dfrac{a}{1+{{a}^{2}}},\]故 $f\left(x\right)>0$ 的解集为\[\left\{ x\left|\right.{{x}_{1}}<x<{{x}_{2}} \right\},\]因此区间 $I=\left( 0, \dfrac{a}{1+{{a}^{2}}} \right)$，区间 $ I $ 的长度为 $\dfrac{a}{1+{{a}^{2}}}.$
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给定常数 $k \in \left( {0,1} \right)$，当 $1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k$ 时，求 $I$ 长度的最小值．标注答案当 $a=1-k$ 时，$I$ 在区间 $\left[ 1-k,1+k \right]$ 上取得最小值 $\dfrac{1-k}{2-{2k}+{{k}^{2}}}$．解析利用导数研究函数在闭区间上的最值，本题端点函数值可以用作商比较法来比较大小．设 $d\left(a\right)=\dfrac{a}{1+{{a}^{2}}}$，接下来利用导数求函数的最值．因为\[{d}'\left(a\right)\overset {\left[a\right]}=\dfrac{1-{{a}^{2}}}{{{\left( 1+{{a}^{2}} \right)}^{2}}} \left( a>0 \right).\]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）令 ${d}'\left(a\right)=0$，得 $a=1$，由于 $0<k<1$，故当 $1-k\leqslant a<1$ 时，${d}'\left(a\right)>0$，$d\left(a\right)$ 单调递增；当 $1<a\leqslant 1+k$ 时，${d}'\left(a\right)<0$，$d\left(a\right)$ 单调递减．所以当 $1-k\leqslant a\leqslant 1+k$ 时，$d\left(a\right)$ 的最小值必定在 $a=1-k$ 或 $a=1+k$ 处取得，而\[\dfrac{d\left(1-k\right)}{d\left(1+k\right)}\overset {\left[b\right]}=\dfrac{\dfrac{1-k}{1+{{\left(1-k\right)}^{2}}}}{\dfrac{1+k}{1+{{\left(1+k\right)}^{2}}}}=\dfrac{2-{{k}^{2}}-{{k}^{3}}}{2-{{k}^{2}}+{{k}^{3}}}<1,\]（推导中用到 $ \left[b\right] $．）故\[d\left(1-k\right)<d\left(1+k\right).\]因此当 $a=1-k$ 时，$d\left(a\right)$ 在区间 $\left[ 1-k,1+k \right]$ 上取得最小值 $\dfrac{1-k}{2-{2k}+{{k}^{2}}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
