题目 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $2{\cos ^2}\dfrac{A - B}{2}\cos B - \sin \left(A - B\right)\sin B + \cos \left( {A + C} \right) = - \dfrac{3}{5}$． 问题1 求 $\cos A$ 的值； 答案1 $\cos A = - \dfrac{3}{5}$． 解析1 用三角恒等变换公式整理条件所给等式即可得到答案．由已知，得\[2{\cos ^2}\dfrac{A - B}{2}\cos B - \sin \left( {A - B} \right)\sin B - \cos B\overset {\left[a\right]} = - \dfrac{3}{5},\]（推导中用到 $\left[a\right] $．）得\[\left[ {\cos \left( {A - B} \right) + 1} \right]\cos B - \sin \left( {A - B} \right)\sin B - \cos B \overset {\left[b\right]}= - \dfrac{3}{5},\]（推导中用到 $\left[b\right] $．）即\[\cos \left( {A - B} \right)\cos B - \sin \left( {A - B} \right)\sin B = - \dfrac{3}{5},\]则\[\cos \left[\left( A - B \right)+ B \right] \overset {\left[c\right]}= - \dfrac{3}{5},\]（推导中用到 $\left[c\right] $．）即 $\cos A = - \dfrac{3}{5}$． 备注1 问题2 若 $a = 4\sqrt 2 $，$b = 5$，求向量 $\overrightarrow {BA} $ 在 $\overrightarrow {BC} $ 方向上的投影． 答案2 向量 $\overrightarrow {BA} $ 在 $\overrightarrow {BC} $ 方向上的投影为 $ \dfrac{\sqrt 2 }{2}$． 解析2 先用正弦和余弦定理得到相应的边和角，再利用向量知识求投影即可．由 $\cos A = - \dfrac{3}{5}$，$0 < A < {\mathrm \pi} $，得\[\sin A\overset {\left[d\right]} =\sqrt {1-\cos ^2 A}= \dfrac{4}{5},\]（推导中用到 $\left[d\right] $．）由正弦定理，有 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$，所以\[\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{\sqrt 2 }{2}.\]由题意知 $a > b$，则 $A > B$，故 $B = \dfrac{\mathrm \pi} {4}$，$ \cos B=\dfrac {\sqrt 2}{2} $．根据余弦定理，有\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A ,\]即\[{\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} = {5^2} + {c^2} - 2 \cdot 5 c \left( { - \dfrac{3}{5}} \right),\]解得 $c = 1$ 或 $c = - 7$（舍去）．故向量 $\overrightarrow {BA} $ 在 $\overrightarrow {BC} $ 方向上的投影为\[\left| {\overrightarrow {BA} } \right|\cos B =c\cos B= \dfrac{\sqrt 2 }{2}.\] 备注2