题目 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1$，$2$，$3$，$ \cdots$，$24$ 这 $24$ 个整数中等可能随机产生．<br><img src="/static/images/a695bbacd602117a07f8f4b24712edf5.png" class="img-responsive" />  问题1 分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 ${P_i}\left( {i = 1,2,3} \right)$； 答案1 输出 $y$ 的值为 $1$ 的概率为 $P_1=\dfrac{1}{2}$，输出 $y$ 的值为 $ 2 $ 的概率为 $P_2=\dfrac{1}{3}$，输出 $y$ 的值为 $ 3 $ 的概率为 $P_3=\dfrac{1}{6}$ 解析1 根据程序框图知，输入的变量是奇数时，输出的结果是 $1$，输入的变量是偶数且为 $3$ 的倍数时，输出的结果是 $3$，其他情况输出的结果是 $2$．变量 $x$ 是在 $1$，$2$，$3$，$ \cdots$，$24$ 这 $ 24 $ 个整数中随机产生的一个数，共有 $ 24 $ 种可能．根据程序框图可知，当 $x$ 从 $1$，$3$，$5$，$7$，$9$，$11$，$13$，$15$，$17$，$19$，$21$，$23$ 这 $ 12 $ 个数中产生时，输出 $y$ 的值为 $ 1 $，故\[{P_1}\overset {\left[a\right]} = \dfrac{1}{2};\]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）当 $x$ 从 $2$，$4$，$8$，$10$，$14$，$16$，$20$，$22$ 这 $ 8 $ 个数中产生时，输出 $y$ 的值为 $ 2 $，故\[{P_2} = \dfrac{1}{3};\]当 $x$ 从 $6$，$12$，$18$，$24$ 这 $ 4 $ 个数中产生时，输出 $y$ 的值为 $ 3 $，故\[{P_3} = \dfrac{1}{6}.\]所以输出 $y$ 的值为 $1$ 的概率为 $\dfrac{1}{2}$，输出 $y$ 的值为 $ 2 $ 的概率为 $\dfrac{1}{3}$，输出 $y$ 的值为 $ 3 $ 的概率为 $\dfrac{1}{6}$． 备注1 问题2 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$ 的值为 $i\left( {i = 1,2,3} \right)$ 的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．<br/>甲的频数统计表（部分）\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline<br/>运行次数 n & 输出 y 的值为 1 的频数 & 输出 y 的值为 2 的频数 & 输出 y 的值为 3 的频数 \\ \hline<br/>30 & 14 & 6 & 10 \\ \hline<br/>\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline<br/>2100 & 1027 & 376 & 697 \\ \hline<br/>\end{array}\]乙的频数统计表（部分）\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline<br/>运行次数 n & 输出 y 的值为 1 的频数 & 输出 y 的值为 2 的频数 & 输出 y 的值为 3 的频数 \\ \hline<br/>30 & 12 & 11 & 7 \\ \hline<br/>\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline<br/>2100 & 1051 & 696 & 353 \\ \hline<br/>\end{array}\]当 $n = 2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i\left( {i = 1,2,3} \right)$ 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； 答案2 当 $n = 2100$ 时，甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i\left( {i = 1,2,3} \right)$ 的频率如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 输出 y 的值为 1 的频率 & 输出 y 的值为 2 的频率 & 输出 y 的值为 3 的频率 \\ \hline甲 & \frac{1027}{2100} & \frac{376}{2100} & \frac{697}{2100} \\ \hline乙& \frac{1051}{2100} & \frac{696}{2100} & \frac{353}{2100} \\ \hline\end{array}\]比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 解析2 当输入次数比较大时，符合要求的算法统计的频率值应更接近其概率值，由统计数据猜测甲同学的算法可能把输出结果 $2$ 和 $3$ 的情况弄颠倒了．当 $n = 2100$ 时，甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i\left( {i = 1,2,3} \right)$ 的频率如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 输出 y 的值为 1 的频率 & 输出 y 的值为 2 的频率 & 输出 y 的值为 3 的频率 \\ \hline甲 & \frac{1027}{2100} & \frac{376}{2100} & \frac{697}{2100} \\ \hline乙& \frac{1051}{2100} & \frac{696}{2100} & \frac{353}{2100} \\ \hline\end{array}\]比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． 备注2 问题3 按程序框图正确编写的程序运行 $ 3 $ 次，求输出 $y$ 的值为 $2$ 的次数 $\xi $ 的分布列及数学期望． 答案3 $\xi $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \xi & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & \dfrac{8}{27} & \dfrac{4}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{27} \\ \hline\end{array}\]$\xi $ 的数学期望为 $ 1 $ 解析3 易知 $\xi $ 服从二项分布．随机变量 $\xi $ 可能的取值为 $0$，$1$，$2$，$3$，且\[\begin{split}P\left( {\xi = 0} \right) &\overset {\left[b\right]}= {\mathrm{C}}_3^0 {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^0} {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3} = \dfrac{8}{27}, \\ P\left( {\xi = 1} \right) &= {\mathrm{C}}_3^1 {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^1} {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}, \\ P\left( {\xi = 2} \right) &= {\mathrm{C}}_3^2 {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^1} = \dfrac{2}{9}, \\ P\left( {\xi = 3} \right) &= {\mathrm{C}}_3^3 {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^0} = \dfrac{1}{27}.\end{split}\]（推导中用到 $ \left[b\right] $．）故 $\xi $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \xi & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & \dfrac{8}{27} & \dfrac{4}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{27} \\ \hline\end{array}\]所以\[E\xi \overset {\left[c\right]}= 0 \cdot \dfrac{8}{27} + 1 \cdot \dfrac{4}{9} + 2 \cdot \dfrac{2}{9} + 3 \cdot \dfrac{1}{27} = 1.\]（推导中用到 $ \left[c\right] $．）即 $\xi $ 的数学期望为 $ 1 $． 备注3