已知函数 $f\left(x\right) = {\begin{cases}
{x^2} + 2x + a,&x < 0 \\
\ln x,&x > 0 \\
\end{cases}}$，其中 $a$ 是实数．设 $A\left( {{x_1},f\left( {x_1} \right)} \right)$，$B\left( {{x_2},f\left( {x_2} \right)} \right)$ 为该函数图象上的两点，且 ${x_1} < {x_2}$．
{x^2} + 2x + a,&x < 0 \\
\ln x,&x > 0 \\
\end{cases}}$，其中 $a$ 是实数．设 $A\left( {{x_1},f\left( {x_1} \right)} \right)$，$B\left( {{x_2},f\left( {x_2} \right)} \right)$ 为该函数图象上的两点，且 ${x_1} < {x_2}$．
【难度】
【出处】
2013年高考四川卷（理）
【标注】
-
指出函数 $f\left( x \right)$ 的单调区间；标注答案函数 $f\left( x \right)$ 的单调递减区间为 $\left( { - \infty , - 1} \right)$，单调递增区间为 $ \left[ - 1,0 \right),\left( {0, + \infty } \right)$．解析结合基本初等函数的单调性分段考虑．函数 $f\left( x \right)$ 的单调递减区间为 $\left( { - \infty , - 1} \right)$，单调递增区间为 $ \left[ - 1,0 \right),\left( {0, + \infty } \right)$．
-
若函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $A$，$B$ 处的切线互相垂直，且 ${x_2} < 0$，求 ${x_2} - {x_1}$ 的最小值；标注答案${x_2} - {x_1}$ 的最小值为 $ 1 $．解析根据切线相互垂直，结合导数的几何意义可以得出 $x_1 $，$x_2 $ 之间的一个等量关系，应用均值不等式结合该等量关系可以证明结论．这里利用均值定理时的式子变形很关键．由导数的几何意义可知，点 $A$ 处的切线斜率为 $f'\left( {x_1} \right)$，点 $B$ 处的切线斜率为 $f'\left( {x_2} \right)$，故当点 $A$ 处的切线与点 $B$ 处的切线垂直时，有\[f'\left( {x_1} \right)f'\left( {x_2} \right) = - 1.\]当 $x < 0$ 时，对函数 $f\left( x \right)$ 求导，得\[f'\left( x \right) = 2x + 2.\]因为 ${x_1} < {x_2} < 0$，所以\[\left( {2{x_1} + 2} \right)\left( {2{x_2} + 2} \right) = - 1,\]所以\[\begin{split}2{x_1} + 2 &< 0, \\ 2{x_2} + 2 &> 0.\end{split}\]因此\[ \begin{split} {x_2} - {x_1} &= \frac{1}{2}\left[ { - \left({2{x_1} + 2} \right)+ 2{x_2} + 2} \right]\\&\overset {\left[a\right]} \geqslant \sqrt {\left[ { - \left({2{x_1} + 2} \right)} \right]\left({2{x_2} + 2} \right)} \\ &= 1,\end{split} \]（推导中用到 $ \left[a\right]$．）当且仅当\[ - \left( {2{x_1} + 2} \right) = 2{x_2} + 2 = 1,\]即 ${x_1} = - \dfrac{3}{2}$ 且 ${x_2} = - \dfrac{1}{2}$ 时，等号成立．
所以函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $A$，$B$ 处的切线互相垂直时，${x_2} - {x_1}$ 的最小值为 $ 1 $． -
若函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $A$，$B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围．标注答案$ a$ 的取值范围是 $\left(-1-\ln 2,+\infty \right) $．解析由于 $ f\left(x\right) $ 的导函数在 $ 0 $ 的两侧分别单调，可得出 $A $，$ B $ 两点位于 $y $ 轴两侧．而切线重合则需函数 $f\left(x\right) $ 在 $A $ 点 处的切线过点 $B $，同时函数 $ f\left(x\right) $ 在 $B $ 点 处的切线过点 $A $．进而可以得到用 $ x_2 $ 表示 $a$ 的函数关系，进一步分析该函数的性质可得结果．当 ${x_1} < {x_2} < 0$ 或 ${x_2} > {x_1} > 0$ 时，\[f'\left( {x_1} \right) \ne f'\left( {x_2} \right),\]故\[{x_1} < 0 < {x_2}.\]当 ${x_1} < 0$ 时，函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $\left( {{x_1},f\left( {x_1} \right)} \right)$ 处的切线方程为\[y - \left( {x_1^2 + 2{x_1} + a} \right) = \left( {2{x_1} + 2} \right)\left( {x - {x_1}} \right),\]即\[y = \left( {2{x_1} + 2} \right)x - x_1^2 + a.\]当 ${x_2} > 0$ 时，函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $\left( {{x_2},f\left( {x_2} \right)} \right)$ 处的切线方程为\[y - \ln {x_2} = \dfrac{1}{x_2}\left( {x - {x_2}} \right),\]即\[y = \dfrac{1}{x_2} \cdot x + \ln {x_2} - 1.\]两切线重合的充要条件是\[ \begin{cases}
\dfrac{1}{x_2} = 2{x_1} + 2,\quad \cdots \cdots ① \\
{ \ln }{x_{ 2 }} - { 1 } = - x_{ 1 }^{ 2 } + a.\quad \cdots \cdots ② \\
\end{cases} \]由 ① 及 ${x_1} < 0 < {x_2}$ 知，$ - 1 < {x_1} < 0$．
由 ①②，得\[\begin{split}a &= x_1^2 + \ln \frac{1}{{2{x_1} + 2}} - 1 \\&= x_1^2 - \ln \left( {2{x_1} + 2} \right) - 1.\end{split}\]因为函数 $y=x_1^2-1 $，$ y=-\ln \left(x_1+2\right)$ 在区间 $\left(-1,0\right) $ 上单调递减，所以 $a\left(x_1\right) =x_1^2-\ln \left(2x_1+2\right)-1$ 在 $\left(-1,0\right)$ 上单调递减，且 $x_1 \rightarrow -1 $ 时，$a\left(x_1\right)\rightarrow +\infty $；$x_1\rightarrow 0 $ 时，$ a\left(x_1\right) \rightarrow -1-\ln 2$．
所以 $ a$ 的取值范围是 $\left(-1-\ln 2,+\infty \right) $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
