某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\dfrac{2}{3}$，中奖可以获得 $2$ 分；方案乙的中奖率为 $\dfrac{2}{5}$，中奖可以获得 $3$ 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
【难度】
【出处】
2013年高考福建卷（理）
【标注】
-
若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 $X$，求 $X \leqslant 3$ 的概率；标注答案$\dfrac{11}{15}$．解析本题考查事件的独立性，直接写出满足题意的 $X$ 的所有情况，逐一求概率即可．由已知得，小明中奖的概率为 $\dfrac{2}{3}$，小红中奖的概率为 $\dfrac{2}{5}$，且两人中奖与否互不影响．
记"这 $2$ 人的累计得分 $X \leqslant 3$ "的事件为 $A$，
则事件 $A$ 包含有“$X = 0$”，“$X = 2$”，“$X = 3$”三个两两互斥的事件，
根据事件的独立性及对立事件的概率求得\[\begin{split}P\left( {X = 0} \right) &= \left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right) \times \left( {1 - \dfrac{2}{5}} \right) = \dfrac{1}{5}, \\ P\left( {X = 2} \right) &= \dfrac{2}{3} \times \left( {1 - \dfrac{2}{5}} \right) = \dfrac{2}{5}, \\ P\left( {X = 3} \right) &= \left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right) \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{15},\end{split}\]所以\[\begin{split}P\left( A \right) = P\left( {X = 0} \right) + { }P\left( {X = 2} \right) + { }P\left( {X = 3} \right) = \dfrac{11}{15},\end{split}\]即这 $2$ 人的累计得分 $X \leqslant 3$ 的概率为 $\dfrac{11}{15}$． -
若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？标注答案他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．解析本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，分别算出分布列并计算期望即可．设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 ${X_1}$，都选择方案乙所获得的累计得分为 ${X_2}$．则 ${X_1}$，${X_2}$ 的分布列如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
{X_1}&0&2&4 \\ \hline
P&\dfrac{1}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{4}{9} \\ \hline
\end{array}\]\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline {X_2}&0&3&6\\ \hline
P&\dfrac{9}{25}&\dfrac{12}{25}&\dfrac{4}{25}\\ \hline
\end{array}\]数学期望为\[\begin{split}E\left( {X_1} \right)& = 0 \times \frac{1}{9} + 2 \times \dfrac{4}{9} + 4 \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{8}{3}, \\ E\left( {X_2} \right) &= 0 \times \frac{9}{25}{ + }3 \times \frac{12}{25}{ + }6 \times \frac{4}{25} =\frac{12}{5}.\end{split}\]因为 $E\left( {X_1} \right) > E\left( {X_2} \right)$，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
