题目 已知函数 $f\left( x \right) = x - a\ln x \left(a \in {\mathbb{R}}\right)$． 问题1 当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $A\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)$ 处的切线方程； 答案1 $x + y - 2 = 0$． 解析1 本题考查利用导数求曲线的切线方程问题，求出切点和切点处的导数值即可．当 $a = 2$ 时，\[\begin{split}f\left(x\right) &= x - 2\ln x,\\ f'\left( x \right) &= 1 - \dfrac{2}{x}\left( {x > 0} \right),\end{split}\]因而\[\begin{split}f\left(1\right) &= 1,\\ f'\left( 1 \right) &= - 1,\end{split}\]所以曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $A\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)$ 处的切线方程为\[y - 1 = - \left( {x - 1} \right),\]即\[x + y - 2 = 0.\] 备注1 问题2 求函数 $f\left( x \right)$ 的极值． 答案2 当 $a \leqslant 0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 无极值；<br/>当 $a > 0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 $x = a$ 处取得极小值 $a - a\ln a$，无极大值． 解析2 本题考查利用导数求函数极值问题，根据导数的正负判断出函数的单调性即可．由\[f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{a}{x} = \dfrac{x - a}{x},x > 0\]知：<br/>① 当 $a \leqslant 0$ 时，$f'\left( x \right) > 0$，函数 $f\left(x\right)$ 为 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上是增函数，函数 $f\left(x\right)$ 无极值．<br/>② 当 $a > 0$ 时，由 $f'\left( x \right) = 0$，解得 $x = a$．<br/>又当 $x \in \left( {0,a} \right)$ 时，$f'\left( x \right) < 0$，$f\left(x\right)$ 单调递减；<br/>当 $x \in \left( {a, + \infty } \right)$ 时，$f'\left( x \right) > 0$，$f\left(x\right)$ 单调递增，<br/>从而函数 $f\left(x\right)$ 在 $x = a$ 处取得极小值，且极小值为\[f\left( a \right) = a - a\ln a,\]无极大值．<br/>综上，当 $a \leqslant 0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 无极值；<br/>当 $a > 0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 $x = a$ 处取得极小值 $a - a\ln a$，无极大值． 备注2