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  函数

$f\left( x \right) = \cos 2x$，$g\left( x \right) = \sin x$．

本题考查三角函数的图象变换．由函数 $f\left( x \right) = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$ 的周期为 ${\mathrm \pi} $，$\omega > 0$，得\[\omega = \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{T} = \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{\mathrm \pi} = 2.\]又曲线 $y = f\left( x \right)$ 的一个对称中心为 $\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {4},0} \right)$，$\varphi \in \left( {0,{\mathrm \pi} } \right)$，故\[f\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right) = \sin \left( {2 \times \dfrac{\mathrm \pi} {4} + \varphi } \right) = 0,\]解得 $\varphi { = }\dfrac{\mathrm \pi} {2}$，所以\[f\left( x \right) =\sin \left(2x+\dfrac {\mathrm \pi} 2\right)\overset{\left[a\right]}= \cos 2x.\]（推导中用到：[a]）
将函数 $f\left( x \right)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $ 2 $ 倍（纵坐标不变）后可得 $y = \cos x$ 的图象，再将 $y = \cos x$ 的图象向右平移 $\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 个单位长度后得到函数 $g\left( x \right) = \cos \left( {x - \dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right)$ 的图象，所以\[g\left( x \right) = \sin x.\]

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  等差数列的定义与通项
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  利用导数研究函数的性质

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  利用导数研究函数的单调性
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  微积分初步

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  利用导数研究函数的性质

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  利用导数研究函数的零点
• 题型

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  微积分初步

存在唯一的 ${x_0} \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$ 满足题意．

由非常值等差数列具有单调性，考虑根据题目条件判断出三者的大小顺序，再根据等差数列的概念，得到等式关系，问题即化为判断该等式关系是否有解的问题．当 $x \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$ 时，$\dfrac{1}{2} < \sin x < \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，$0 < \cos 2x < \dfrac{1}{2}$，所以\[\sin x > \cos 2x > \sin x\cos 2x.\]问题转化为方程 $2\cos 2x = \sin x + \sin x\cos 2x$ 在 $\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$ 内是否有解．
设\[G\left( x \right) = \sin x + \sin x\cos 2x - 2\cos 2x,x \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right),\]则\[G'\left( x \right) = \cos x + \cos x\cos 2x + 2\sin 2x\left( {2 - \sin x} \right).\]因为 $x \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$，所以\[G'\left( x \right) > 0,\]$G\left(x\right)$ 在 $\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$ 内单调递增．又\[\begin{split}G\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) &= - \dfrac{1}{4} < 0,\\ G\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right) &= \dfrac{\sqrt 2 }{2} > 0,\end{split}\]且函数 $G\left( x \right)$ 的图象连续不断，
故可知函数 $G\left( x \right)$ 在 $\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$ 内存在唯一零点 ${x_0}$，
即存在唯一的 ${x_0} \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$ 满足题意．

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  利用导数研究函数的零点
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  利用导数研究函数的极值
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  导数问题中的技巧

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  参数的讨论
• 题型

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  微积分初步

当 $a = 1$，$n = 1342$ 或 $a = - 1$，$n = 1342$ 时，函数 $F\left( x \right) = f\left( x \right) + ag\left( x \right)$ 在 $\left( {0,n{\mathrm \pi} } \right)$ 内恰有 $ 2013 $ 个零点．

本题考查三角函数的零点个数问题，注意周期性，并考虑利用参变分离研究交点个数，是解决本题的核心．方法一：
依题意，$F\left(x\right) = a\sin x + \cos 2x$，令\[F\left(x\right) = a\sin x + \cos 2x = 0.\]当 $\sin x = 0$，即 $x = k{\mathrm \pi} \left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right)$ 时，$\cos 2x = 1$，从而 $x = k{\mathrm \pi} \left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right)$ 不是方程 $F\left( x \right) = 0$ 的解，
所以方程 $F\left( x \right) = 0$ 等价于关于 $x$ 的方程\[a = - \dfrac{\cos 2x}{\sin x},x \ne k{\mathrm \pi} \left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right).\]现研究 $x \in \left( {0,{\mathrm \pi} } \right) \cup \left( {{\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} } \right)$ 时方程 $a = - \dfrac{\cos 2x}{\sin x}$ 的解的情况．
令\[h\left( x \right) = - \frac{\cos 2x}{\sin x},x \in \left( {0,{\mathrm \pi} } \right) \cup \left( {{\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} } \right),\]则问题转化为研究直线 $y = a$ 与曲线 $y = h\left( x \right),x \in \left( {0,{\mathrm \pi} } \right) \cup \left( {{\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} } \right)$ 的交点情况．\[h'\left( x \right) = \dfrac{{\cos x\left( {2{{\sin }^2}x + 1} \right)}}{{{{\sin }^2}x}},\]令 $h'\left( x \right) = 0$，得\[x = \dfrac{\mathrm \pi} {2} 或 x = \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{2}.\]当 $x$ 变化时，$h'\left( x \right),h\left( x \right)$ 的变化情况如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \left(0,\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{2}\right) & \dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{2} & \left(\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{2},{\mathrm{\mathrm \pi} }\right) & \left({\mathrm{\mathrm \pi} },\dfrac{3{\mathrm{\mathrm \pi} }}{2}\right) & \dfrac{3{\mathrm{\mathrm \pi} }}{2} & \left(\dfrac{3{\mathrm{\mathrm \pi} }}{2},2{\mathrm{\mathrm \pi} }\right) \\ \hline h'\left(x\right) & + & 0 & - & - & 0 & + \\ \hline h\left(x\right) & ↗ & 1 & ↘ & ↘ & -1 &↗ \\ \hline \end{array}\]当 $x > 0$ 且 $x$ 趋近于 $0$ 时，$h\left( x \right)$ 趋向于 $ - \infty $；
当 $x < {\mathrm \pi} $ 且 $x$ 趋近于 ${\mathrm \pi} $ 时，$h\left( x \right)$ 趋向于 $ - \infty $；
当 $x > {\mathrm \pi} $ 且 $x$ 趋近于 ${\mathrm \pi} $ 时，$h\left( x \right)$ 趋向于 $ + \infty $；
当 $x < 2{\mathrm \pi} $ 且 $x$ 趋近于 $2{\mathrm{\mathrm \pi} }$ 时，$h\left( x \right)$ 趋向于 $ + \infty $；
故当 $a > 1$ 时，直线 $y = a$ 与曲线 $y = h\left( x \right)$ 在 $\left( {0,{\mathrm \pi} } \right)$ 内无交点，在 $\left( {{\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} } \right)$ 内有 $ 2 $ 个交点；
当 $a < - 1$ 时，直线 $y = a$ 与曲线 $y = h\left( x \right)$ 在 $\left( {0,{\mathrm \pi} } \right)$ 内有两个交点，在 $\left( {{\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} } \right)$ 内无交点；
当 $ - 1 < a < 1$ 时，直线 $y = a$ 与曲线 $y = h\left( x \right)$ 在 $\left( {0,{\mathrm \pi} } \right)$ 内有 $ 2 $ 个交点，在 $\left( {{\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} } \right)$ 内有 $ 2 $ 个交点．
由函数 $h\left( x \right)$ 的周期性可知，
当 $a \ne \pm 1$ 时，直线 $y = a$ 与曲线 $y = h\left( x \right)$ 在 $\left( {0,n{\mathrm \pi} } \right)$ 内总有偶数个交点，
从而不存在正整数 $n$，使得直线 $y = a$ 与曲线 $y = h\left( x \right)$ 在 $\left( {0,n{\mathrm \pi} } \right)$ 内恰有 $ 2013 $ 个交点；
又当 $a = 1$ 或 $a = - 1$ 时，直线 $y = a$ 与曲线 $y = h\left( x \right)$ 在 $\left( {0,{\mathrm \pi} } \right) \cup \left( {{\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} } \right)$ 内有 $ 3 $ 个交点．
由正弦函数的周期性，$2013 = 3 \times 671$，所以依题意得\[n = 671 \times 2 = 1342.\]综上，当 $a = 1$，$n = 1342$ 或 $a = - 1$，$n = 1342$ 时，函数 $F\left( x \right) = f\left( x \right) + ag\left( x \right)$ 在 $\left( {0,n{\mathrm \pi} } \right)$ 内恰有 $2013$ 个零点．
方法二：
依题意，\[\begin{split}F\left(x\right) &= a\sin x + \cos 2x \\& \overset{\left[a\right]}= - 2{\sin ^2}x + a\sin x + 1.\end{split}\]（推导中用到：[a]）
现研究函数 $F\left( x \right)$ 在 $\left( {0,2{\mathrm \pi} } \right]$ 上的零点的情况．
设\[t = \sin x,p\left(t\right) = - 2{t^2} + at + 1\left( { - 1 \leqslant t \leqslant 1} \right),\]则函数 $p\left(t\right)$ 的图象是开口向下的抛物线．
又\[\begin{split}p\left( 0 \right) &= 1 > 0,\\ p\left( { - 1} \right) &= - a - 1,\\ p\left( 1 \right) &= a - 1.\end{split}\]当 $a > 1$ 时，函数 $p\left(t\right)$ 有一个零点 ${t_1} \in \left( { - 1,0} \right)$（另一个零点 ${t_2} > 1$，舍去），
$F\left( x \right)$ 在 $\left( {0,2{\mathrm \pi} } \right]$ 上有两个零点 ${x_1},{x_2}$，且 ${x_1},{x_2} \in \left( {{\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} } \right)$；
当 $a < - 1$ 时，函数 $p\left(t\right)$ 有一个零点 ${t_1} \in \left( {0,1} \right)$（另一个零点 ${t_2} < - 1$，舍去），
$F\left( x \right)$ 在 $\left( {0,2{\mathrm \pi} } \right]$ 上有两个个零点 ${x_1},{x_2}$，且 ${x_1},{x_2} \in \left( {0,{\mathrm \pi} } \right)$；
当 $ - 1 < a < 1$ 时，函数 $p\left(t\right)$ 一个零点 ${t_1} \in \left( { - 1,0} \right)$，
另一个零点 ${t_2} \in \left( {0,1} \right)$，$F\left( x \right)$ 在 $\left( {0,{\mathrm \pi} } \right)$ 和 $\left( {{\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} } \right)$ 分别有两个零点．
由正弦函数的周期性，可知当 $a \ne \pm 1$ 时，函数 $F\left( x \right)$ 在 $\left( {0,n{\mathrm \pi} } \right)$ 内总有偶数个零点，从而不存在正整数 $n$ 满足题意．
当 $a = 1$ 时，函数 $p\left(t\right)$ 有一个零点 ${t_1} \in \left( { - 1,0} \right)$，另一个零点 ${t_2} = 1$；
当 $a = - 1$ 时，函数 $p\left(t\right)$ 有一个零点 ${t_1} = - 1$，另一个零点 ${t_2} \in \left( {0,1} \right)$，
从而当 $a = 1$ 或 $a = - 1$ 时，函数 $F\left(x\right)$ 在 $\left( {0,2{\mathrm \pi} } \right]$ 上有 $ 3 $ 个零点．
由正弦函数的周期性，${ 2 }0{ 13 } = { 3 } \times { 671 }$，所以依题意得\[n = 671 \times 2 = 1342.\]综上，当 $a = 1$，$n = 1342$ 或 $a = - 1$，$n = 1342$ 时，函数 $F\left( x \right) = f\left( x \right) + ag\left( x \right)$ 在 $\left( {0,n{\mathrm \pi} } \right)$ 内恰有 $ 2013 $ 个零点．