在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，$x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点 $A$ 的极坐标为 $\left( {\sqrt 2 ,\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \cos \left( {\theta - \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right) = a$，且点 $A$ 在直线 $l$ 上．
【难度】
【出处】
2013年高考福建卷（理）
【标注】
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求 $a$ 的值及直线 $l$ 的直角坐标方程；标注答案$a = \sqrt 2 $．直线 $l$ 的直角坐标方程为 $x + y - 2 = 0$．解析本题考查极坐标与直角坐标的互化，根据 $\rho,\theta$ 与 $x,y$ 的关系，将 $\rho,\theta$ 全部由 $x,y$ 代替即可．将 $\rho=\sqrt 2,\theta =\dfrac {\mathrm \pi} 4$ 代入极坐标方程 $\rho \cos \left( {\theta - \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right) = a$ 中，得 $a = \sqrt 2 $．利用和差角公式，直线 $l$ 的方程可化为\[\rho \cos \theta + \rho \sin \theta = 2,\]从而直线 $l$ 的直角坐标方程为 $x + y - 2 = 0$．
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圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{cases}
x = 1 + \cos \alpha \\
y = \sin \alpha \\
\end{cases}}$（$\alpha $ 为参数），试判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系．标注答案直线 $l$ 与圆 $C$ 相交．解析本题考查圆参数方程化普通方程，根据同角三角函数的“平方和为 $1$”，消去参数即可．由已知得圆 $C$ 的直角坐标方程为\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1,\]所以圆 $C$ 的圆心为 $\left( {1,0} \right)$，半径 $r = 1$，因为圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离\[d = \dfrac{1}{\sqrt 2 } = \dfrac{\sqrt 2 }{2} < 1,\]所以直线 $l$ 与圆 $C$ 相交．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
