已知函数 $f\left(x\right) = \sin \left(x - \dfrac{\mathrm \pi} {6}\right) + \cos \left(x - \dfrac{{\mathrm \pi} }{3}\right)$，$g\left(x\right) = 2{\sin ^2}\dfrac{x}{2}$．
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（理）
【标注】
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若 $\alpha $ 是第一象限角，且 $f\left(\alpha \right) = \dfrac{3\sqrt 3 }{5}$，求 $g\left(\alpha \right)$ 的值；标注答案$\dfrac{1}{5}$．解析本题考查和差角公式及同角三角函数的基本关系，先化简求出角 $\alpha$ 的三角函数值再计算．因为\[\begin{split}f\left(x\right) & = \sin \left(x - \dfrac{\mathrm \pi} {6}\right) + \cos \left(x - \dfrac{{\mathrm \pi} }{3}\right) \\& \overset{\left[a\right]}= \dfrac {\sqrt 3} 2 \sin x -\dfrac 1 2 \cos x +\dfrac 1 2 \cos x + \dfrac {\sqrt 3} 2 \sin x \\& = \sqrt 3 \sin x , \end{split}\]（推导中用到：[a]）所以\[ f\left(\alpha \right) = \sqrt 3 \sin \alpha = \dfrac{3\sqrt 3 }{5},\]解得\[ \sin \alpha = \dfrac{3}{5},\]又 $\alpha$ 为第一象限角，所以$ \cos \alpha = \dfrac{4}{5}$，所以\[g\left(\alpha \right) = 2{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} \overset{\left[b\right]}= 1 - \cos \alpha = \dfrac{1}{5}.\]（推导中用到：[b]）
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求使 $f\left(x\right) \geqslant g\left(x\right)$ 成立的 $ x $ 的取值集合．标注答案$\left\{ x \left| \right. 2k{\mathrm \pi} \leqslant x \leqslant 2k{\mathrm \pi} + \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3} ,k \in {\mathbb{Z}} \right\}$．解析本题考查三角函数的辅助角公式及三角函数图象性质．由 $f\left(x\right) \geqslant g\left(x\right)$ 得\[ \sqrt 3 \sin x \geqslant 1 - \cos x ,\]即\[ \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x \overset{\left[c\right]}= \sin \left(x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{6}\right) \geqslant \dfrac{1}{2},\]（推导中用到：[c]）所以\[ x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{6} \in \left[2k{\mathrm \pi} + \dfrac{{\mathrm \pi} }{6},2k{\mathrm \pi} + \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6}\right],k \in {\mathbb{Z}}\]解得\[ x \in \left[2k{\mathrm \pi} ,2k{\mathrm \pi} + \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}\right],k \in {\mathbb{Z}}.\]故使 $f\left(x\right) \geqslant g\left(x\right)$ 成立的 $ x $ 的取值集合为\[\left\{ x \left| \right. 2k{\mathrm \pi} \leqslant x \leqslant 2k{\mathrm \pi} + \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3} ,k \in {\mathbb{Z}} \right\}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
