某人在如图所示的直角边长为 $ 4 $ 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 $ Y $（单位：$ {\mathrm{kg}} $）与它的“相近”作物株数 $ X $ 之间的关系如下表所示：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
X &1 &2 &3 &4 \\ \hline
Y& 51 & 48 &45 & 42 \\ \hline
\end{array} \]这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过 $ 1 $ 米．
X &1 &2 &3 &4 \\ \hline
Y& 51 & 48 &45 & 42 \\ \hline
\end{array} \]这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过 $ 1 $ 米．
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（理）
【标注】
-
从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好"相近"的概率；标注答案$\dfrac 2 9 $解析本题考查古典概型，可列举出符合条件的情形进行计算．所种作物总株数 $ N=1+2+3+4+5=15 $，其中三角形地块内部的作物株数为 $ 3 $，边界上的作物株数为 $ 12 $，
从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 $ {\mathrm C}_3^1 {\mathrm C}_{12}^1=36 $ 种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 $ 3+3+2=8 $ 种，
所以从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为 $\dfrac 8 {36} = \dfrac 2 9 $． -
从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．标注答案分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
Y&51&48&45&42 \\ \hline
P &\dfrac{2}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} \\ \hline \end{array}\]数学期望为 $46$解析本题考察随机变量的分布列及其期望的计算．先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为 $ Y $ 的分布列．
因为 $P\left(Y=51\right)=P\left(X=1\right)$，
$ P\left(Y=48\right)=P\left(X=2\right) $，
$ P\left(Y=45\right)=P\left(X=3\right) $，
$ P\left(Y=42\right)=P\left(X=4\right) $，
所以只需求出 $ P\left(X=k\right)\left(k=1,2,3,4\right) $ 即可．
记 $ n_k $ 为其“相近”作物恰有 $ k $ 株的作物株数 $\left( k=1,2,3,4 \right)$，则\[n_1=2,n_2=4 , n_3=6 , n_4=3 .\]由 $ P\left(X=k\right)=\dfrac {n_k} N $ 得$P\left(X=1\right)=\dfrac 2 {15} $，
$P\left(X=2\right)=\dfrac 4 {15} $，
$P\left(X=3\right)=\dfrac 6 {15} =\dfrac 2 5 $，
$P\left(X=4\right)=\dfrac 3 {15} =\dfrac 1 5 $，
所以所求的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
Y&51&48&45&42 \\ \hline
P &\dfrac{2}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} \\ \hline \end{array}\]数学期望为\[E\left(Y\right)=51\times \dfrac 2 {15} +48\times \dfrac 4 {15} +45\times \dfrac 2 5 +42\times \dfrac 1 5 =46.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
