如图，在直棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_{_1}}$ 中，$AD\parallel BC $，$\angle BAD = {90^ \circ }$，$AC \perp BD$，$BC = 1$，$AD = A{A_1} = 3 $．
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（理）
【标注】
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证明：$AC \perp {B_1}D$；标注答案略解析本题考查异面直线垂直的判定，可借助线面垂直进行证明．因为 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 是直棱柱，
所以 $ B{B_1} \perp 面 ABCD$，又 $ AC \subset 面 ABCD$，
所以$B{B_1} \perp AC$．
又因为 $ AC \perp BD $，且 $ BD \cap B{B_1} = B $，
所以$ AC \perp 面 BD{B_1} $，
因为 $ {B_1}D \subset $ 面 $ BD{B_1} $，
所以$ AC \perp {B_1}D$． -
求直线 ${B_1}{C_1}$ 与平面 $ AC{D_1}$ 所成角的正弦值．标注答案$\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$解析本题考查向量法求解线面角的相关知识．因为 $ {B_1}{C_1}\parallel BC\parallel AD $，
所以直线 $ {B_1}{C_1} $ 与平面 $ AC{D_1} $ 的夹角即直线 $ AD $ 与平面 $ AC{D_1} $ 的夹角 $ \theta $，建立空间直角坐标系，用空间向量解题．
以 $ A $ 点为原点，$ AD $ 为 $ x $ 轴正半轴，$ AB $ 为 $ y $ 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图：
则有\[A\left( {0,0,0} \right),D\left(3,0,0\right),{D_1}\left(3,0,3\right),B\left(0,y,0\right),C\left(1,y,0\right),\]从而\[\overrightarrow {AC} = \left(1,y,0\right),\overrightarrow {BD} = \left(3, - y,0\right).\]因为 $ \overrightarrow {AC} \perp\overrightarrow {BD}$，所以\[\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow { BD} = 0 \Rightarrow 3 - {y^2} + 0 = 0,y > 0 \Rightarrow y = \sqrt 3 .\]所以\[ \overrightarrow {AC} = \left(1,\sqrt 3 ,0\right),\overrightarrow {A{D_1}} = \left(3,0,3\right).\]设平面 $ AC{D_1} $ 的法向量为 $ \overrightarrow n $，则\[\begin{cases}
\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {AC} = 0 ,\\
\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {A{D_1}} = 0 ,\\
\end{cases}\]解得平面 $ AC{D_1} $ 的一个法向量为 $ \overrightarrow n = \left( - \sqrt 3 ,1,\sqrt 3 \right)$．
因为 $\overrightarrow {AD} = \left(3,0,0\right) $，所以\[\sin \theta = \left|\cos \left\langle \overrightarrow n ,\overrightarrow {AD} \right\rangle \right| = \dfrac{3\sqrt 3 }{\sqrt 7 \cdot 3} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7},\]所以 $ B{D_1} $ 与平面 $ AC{D_1} $ 夹角的正弦值为 $\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
